Définitions et notations
Soit {d\in\mathbb{N}^\star}. Une partie d’un espace vectoriel normé est relativement compacte si elle est incluse dans un compact.
Sur {\mathbb{R}^d}, on utilise le produit scalaire usuel {\langle x,y\rangle=\sum\limits_{i=1}^dx_iy_i} et la norme associée {\|\cdot\|}.
Pour un compact {K\subset\mathbb{R}^n}, on munit {C(K,\mathbb{R}^d)} de la norme {\|f\|_\infty=\sup_{x\in K}\|f(x)\|}.
Une partie {A} de cet espace est équicontinue en {x\in K} si : {\begin{array}{l}\forall\varepsilon>0,\ \exists r>0,\\[4pt]\forall f\in A,\ \forall y\in K\cap B(x,r),\\[4pt]\|f(x)-f(y)\|\leqslant\varepsilon.\end{array}}Elle est équicontinue si elle l’est en tout point de {K}. Précision de lecture. Dans la définition imprimée, il faut comprendre {y\in K\cap B(x,r)} : les fonctions ne sont définies que sur {K}.
On s’intéresse au problème de Cauchy : {\begin{array}{ll}y'(t)=F(y(t)),\\[4pt]y(0)=y_{\mathrm{init}}.\end{array}\qquad(1)}Ici, {\Omega} est un ouvert de {\mathbb{R}^d}, {F:\Omega\to\mathbb{R}^d} et {y_{\mathrm{init}}\in\Omega}.
Une solution est un couple {(\varphi,T)}, avec {T\in]0,+\infty]} et {\varphi:[0,T[\to\mathbb{R}^d} dérivable, à valeurs dans {\Omega}, vérifiant (1). En {0}, la dérivée est prise à droite.
Elle est maximale si elle ne se prolonge pas en une solution sur un intervalle {[0,T'[} avec {T'>T}. Elle est globale lorsque {T=+\infty}.
On admet que toute solution peut être prolongée en une solution maximale.
Les parties I et II sont indépendantes ; la partie IV est indépendante des autres parties.
I — Premiers exemples
On admet dans cette partie que les équations proposées admettent une unique solution, globale. On prend {d=1}, {a,\theta>0} et {0\lt y_{\mathrm{init}}\lt \theta}. 1. On considère, pour {y>0} : {F_0(y)=ay\ln\left(\frac\theta y\right).}On note {\varphi_0} la solution du problème de Cauchy sur {[0,+\infty[}.
1. (a) Montrer qu’il existe {\varepsilon>0} tel que, pour tout {t\in]0,\varepsilon]}, on ait {y_{\mathrm{init}}\lt \varphi_0(t)\lt \theta}.
2. Pour {0\lt \mu\leqslant1}, on considère, pour {y>0} : {F_\mu(y)=\frac a\mu y\left(1-\left(\frac y\theta\right)^\mu\right).}En considérant {z_\mu(t)=\varphi_\mu(t)^{-\mu}}, trouver l’expression de la solution {\varphi_\mu} sur {[0,+\infty[} associée à {F_\mu}.
Soit {A\subset C(K,\mathbb{R}^d)}. On veut démontrer le résultat suivant. Théorème 1. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (P1){A} est relativement compacte. (P2){A} est équicontinue et, pour tout {x\in K}, l’ensemble {A(x)=\{f(x):f\in A\}} est borné.
2. Montrer que {A} est relativement compacte si et seulement si toute suite {(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in A^{\mathbb{N}}} admet une sous-suite qui converge uniformément vers une limite {f\in C(K,\mathbb{R}^d)}.
On suppose maintenant que {A} vérifie (P2). Soit {(f_n)_{n\in\mathbb{N}}} une suite d’éléments de {A}. 5. Soit {(x_p)_{p\geqslant0}} une suite d’éléments de {K}.
5. (a) Montrer qu’il existe une suite {(\varphi_p)_{p\in\mathbb{N}}} de fonctions strictement croissantes de {\mathbb{N}} dans {\mathbb{N}} telle que {f_{\psi_p(n)}(x_p)} converge lorsque {n\to+\infty}, où {\psi_0=\varphi_0} et {\psi_p=\psi_{p-1}\circ\varphi_p} pour {p\geqslant1}.
6. (b) Pour {x\in K}, montrer que {(g_n(x))} admet une unique valeur d’adhérence, notée {g(x)}, et conclure sur la convergence simple de {(g_n)} sur {K} vers {g}.
On suppose {F} continue et {y_{\mathrm{init}}\in\Omega}. Pour {r\geqslant0}, on note {B_r} la boule fermée de centre {y_{\mathrm{init}}} et de rayon {r}.
1. Montrer que l’on peut choisir {r>0} et {T>0} tels que {B_r\subset\Omega} et que, pour tout {N\in\mathbb{N}^\star}, on puisse définir par récurrence, en posant {\Delta t=T/N}, une suite {(y_n)_{0\leqslant n\leqslant N}} à valeurs dans {B_r} telle que : {\begin{array}{l}y_0=y_{\mathrm{init}},\\[4pt]y_{n+1}=y_n+\Delta tF(y_n),\\[4pt]0\leqslant n\leqslant N-1.\end{array}}
2. Montrer que l’on peut construire une unique fonction {\varphi_N} continue sur {[0,T]}, affine sur chaque intervalle {[n\Delta t,(n+1)\Delta t]}, pour {0\leqslant n\lt N}, et telle que {\varphi_N(n\Delta t)=y_n} pour {0\leqslant n\leqslant N}.
3. Montrer, à l’aide du théorème 1, qu’il existe une sous-suite de {(\varphi_N)} qui converge uniformément sur {[0,T]} vers une fonction continue {\varphi}.
4. Montrer que l’on peut définir des fonctions en escalier {\psi_N:[0,T]\to\mathbb{R}^d}, égales à {\varphi_N} aux points {n\Delta t}, telles que, pour tout {t\in[0,T]} : {\varphi_N(t)=y_{\mathrm{init}}+\int_0^tF(\psi_N(s))\,ds.}Préciser l’expression de {\psi_N}.
6. Montrer que {(\varphi,T)} est solution du problème de Cauchy (1) et en déduire le théorème suivant. Théorème 2. Si {F} est continue, alors il existe au moins une solution du problème de Cauchy (1).
On considère {\mathcal F:\mathbb{R}^d\to\mathcal P_c(\mathbb{R}^d)}, où {\mathcal P_c(\mathbb{R}^d)} désigne l’ensemble des parties compactes de {\mathbb{R}^d}. Le problème devient : {\begin{array}{l}y'(t)\in\mathcal F(y(t)),\\[4pt]y(0)=y_{\mathrm{init}}.\end{array}\qquad(2)}Une solution {(\varphi,T)} est définie sur {[0,T[}, avec {T\in]0,+\infty]}. Il existe une subdivision finie {0=t_0\lt \cdots\lt t_N=T} telle que : (i){\varphi} est continue sur {[0,T[}. (ii) Elle est {C^1} sur chaque {]t_i,t_{i+1}[} ; sa dérivée admet une limite à droite en {t_i} et, si {i\neq0}, une limite à gauche en {t_i}. (iii) Pour {t\in]t_i,t_{i+1}[}, on a {\varphi'(t)\in\mathcal F(\varphi(t))}. (iv) Les limites unilatérales de la dérivée en {t_i} appartiennent à {\mathcal F(\varphi(t_i))}. (v){\varphi(0)=y_{\mathrm{init}}}.
On emploie les mêmes notions de solutions maximales et globales que précédemment.
1. Supposons que, pour tout compact {K\subset\mathbb{R}^d}, il existe {C_K>0} tel que, pour tous {x,y\in K}, {v_x\in\mathcal F(x)} et {v_y\in\mathcal F(y)} : {\langle v_x-v_y,x-y\rangle\leqslant C_K\|x-y\|^2.\qquad(3)}Montrer que (2) admet au plus une solution maximale. On pourra étudier {\|X(t)-Y(t)\|^2} pour deux solutions {X,Y}.
Dans la suite, {d=2} et, pour {x=(x_1,x_2)}, on pose : {\mathcal{F}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\{v^-\}&x_1\lt 0,\\[6pt]\{v^+\}&x_1>0,\\[6pt][v_1^+,v_1^-]\times[v_2^+,v_2^-]&x_1=0.\end{array}\right.}Les vecteurs {v^-=(v_1^-,v_2^-)} et {v^+=(v_1^+,v_2^+)} sont supposés vérifier {v_1^-\geqslant v_1^+} et {v_2^-\geqslant v_2^+}. 2. On pose {v^-=(1,2)} et {v^+=(-1,2)}.