Notations et conventions
Tous les anneaux considérés sont commutatifs et possèdent une unité, notée {1}.
Les morphismes d’anneaux préservent cette unité.
On pose {x^0=1} pour tout {x}, y compris {x=0}.
Un anneau {A} est intègre s’il n’est pas réduit à {\{0\}} et si {xy=0} implique {x=0} ou {y=0}.
Il se plonge alors dans son corps des fractions {\operatorname{Frac}A}.
L’anneau {\mathbb{Z}[X_1,\ldots,X_n]} est supposé connu et intègre.
Un polynôme s’y écrit de manière unique comme une somme finie de monômes {aX_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}}, avec {a\in\mathbb{Z}} et {(i_1,\ldots,i_n)\in\mathbb{N}^n}.
Cette écriture permet d’évaluer les polynômes à coefficients entiers sur tout anneau commutatif.
On note {M_{r,s}(A)} le groupe additif des matrices à {r} lignes et {s} colonnes, {M_n(A)=M_{n,n}(A)} et {I_n} la matrice identité.
Pour {M\in M_n(A)}, on note {\widetilde M} la transposée de sa comatrice.
Sur un corps, on rappelle les identités : {\begin{array}{l}M\widetilde M=\widetilde MM=(\det M)I_n,\\[4pt]\det(MN)=\det M\det N.\end{array}}Si {E} est un espace vectoriel sur un corps, {E^\vee} désigne son dual.
Pour {F\subset E^\vee} un sous-espace, on pose {F^\perp=\{x\in E:\forall u\in F,\ u(x)=0\}}.
Un groupe abélien {M} a la propriété (F) s’il est engendré par une partie finie de {M}.
Un anneau a (F) si son groupe additif a cette propriété.
Pour une partie {S} d’un anneau {A}, on note {\mathcal A(S)} le sous-anneau des expressions polynomiales à coefficients entiers en un nombre fini d’éléments de {S}.
Un anneau {A} a la propriété (TF) s’il existe une partie finie {S\subset A} telle que {A=\mathcal A(S)}.
On peut toujours ajouter {0} à une famille génératrice ; les familles utilisées ci-dessous pourront donc être prises non vides.
Les sous-anneaux contiennent l’unité de l’anneau ambiant.
Les parties I et II étudient ces propriétés de finitude.
Les parties III et IV les appliquent aux matrices sur un anneau commutatif.
La partie V, indépendante, étudie la dimension des espaces de matrices de rang borné.
Les parties sont largement indépendantes ; il est permis d’admettre un résultat pour traiter une question ultérieure.
Partie I — Exemples et contre-exemples pour (F) et (TF)
1. Soit {A} un anneau commutatif.
Montrer que si {A} a (F), alors il a (TF).
Partie II — Comportement de (F) et (TF) vis-à-vis des morphismes
1. Soit {f:A\to B} un morphisme d’anneaux commutatifs et {F\in\mathbb{Z}[X_1,\ldots,X_n]}.
Montrer que, pour tous {a_1,\ldots,a_n\in A} : {f(F(a_1,\ldots,a_n))=F(f(a_1),\ldots,f(a_n)).}
2. d) Soient {A,B} des anneaux commutatifs et {f:A\to B} un morphisme surjectif.
Montrer que si {A} a (TF), alors {B} a (TF).
Énoncer et démontrer un résultat analogue pour (F).
3. Soit {M} un sous-groupe additif de {\mathbb{Z}^n}, avec {n\in\mathbb{N}} ; {\mathbb{Z}^0} désigne le groupe trivial.
On veut montrer par récurrence : (*) Il existe {r\in\mathbb{N}} tel que {M} soit isomorphe à {\mathbb{Z}^r}.
3. a) Vérifier les cas {n=0} et {n=1}.
Supposons ensuite le résultat vrai pour {n-1}.
Soit {p:\mathbb{Z}^n\to\mathbb{Z}} la projection sur la première coordonnée, {N=\ker p} et {N_1=M\cap N}.
Écrivons {p(M)=a\mathbb{Z}} et choisissons {e_1\in M} tel que {p(e_1)=a}.
Montrer que, si {a\neq0}, l’application suivante est un isomorphisme : {\begin{array}{rcl}N_1\times\mathbb{Z}&\longrightarrow&M\\[4pt](x,m)&\longmapsto&x+me_1.\end{array}}
3. c) Montrer que l’entier {r} tel que {M\simeq\mathbb{Z}^r} est unique.
On pourra considérer le rang d’une famille de vecteurs de {\mathbb{Z}^r} dans {\mathbb{Q}^r}.
5. b) Montrer qu’il existe un entier {N>0} tel que tout élément de {\mathcal A(S)} soit somme de monômes {\alpha X^iY^j} avec {\alpha\in\mathbb{Z}} et {j\leqslant iN}.
Partie III — Déterminants sur un anneau commutatif
Dans cette partie, {A} est un anneau commutatif et {A^*} est le groupe multiplicatif de ses éléments inversibles.
1. Soit {E} un sous-ensemble fini de {M_n(A)}.
Montrer qu’il existe un sous-anneau {B\subset A} ayant (TF) et contenant tous les coefficients de toutes les matrices de {E}.
3. Soient {r,s\geqslant1}, {M\in M_{s,r}(A)} et {u:A^r\to A^s}, {X\mapsto MX}.
On suppose {u} surjective et {A\neq\{0\}}.
On veut montrer {r\geqslant s} ; on raisonne par l’absurde en supposant {r\lt s}.
3. a) Montrer qu’il existe {N\in M_{r,s}(A)} telle que {MN=I_s}.
3. b) On complète {M} par {s-r} colonnes nulles et {N} par {s-r} lignes nulles : {M_1=(M\ \ 0),\qquad N_1=\begin{pmatrix}N\\[4pt]0\end{pmatrix}.}Calculer {M_1N_1}.
3. d) On suppose {r=s}.
Montrer l’équivalence des propriétés : i){u} est surjective ; ii){\det M\in A^*} ; iii) il existe {N\in M_r(A)} telle que {MN=NM=I_r} ; iv){u} est bijective.
Partie IV — Équivalence de matrices sur {\mathbb{Z}} et {\mathbb{C}}
Soient {r,s\geqslant1} et {A} un anneau commutatif non nul.
On note {GL_r(A)} l’ensemble des matrices vérifiant les propriétés équivalentes de III.3d. Précision. Le renvoi imprimé « II.3.d » désigne bien III.3d.
1. a) Montrer que la multiplication des matrices induit une structure de groupe sur {GL_r(A)}.
1. b) Pour {M,N\in M_{s,r}(A)}, on pose {M\sim N} s’il existe {U\in GL_s(A)} et {V\in GL_r(A)} telles que {N=UMV}.
Montrer que c’est une relation d’équivalence.
On dit alors que {M,N} sont {A}-équivalentes.
Pour {M\in M_{s,r}(\mathbb{Z})} et {1\leqslant k\leqslant\min(r,s)}, on note {m_k(M)} le pgcd, choisi positif ou nul, de tous les mineurs de taille {k}.
Le pgcd d’une famille de mineurs tous nuls est {0}.
Si l’on considère également {k=0}, le mineur vide vaut {1} et l’invariance correspondante est immédiate.
2. Soient {M,N\in M_{s,r}(\mathbb{Z})} deux matrices {\mathbb{Z}}-équivalentes.
Montrer que {m_k(M)=m_k(N)} pour tout {k\leqslant\min(r,s)}.
On pourra commencer par montrer {m_k(M)\mid m_k(N)}.
Soient {r,m\geqslant1} avec {r\leqslant m}.
On considère un sous-espace {V\subset M_m(\mathbb{C})} dont tout élément a un rang au plus égal à {r}.
Le but est de montrer : {\dim V\leqslant mr.}
1. Montrer qu’on peut supposer que {V} contient la matrice-bloc : {A=\begin{pmatrix}I_r&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.}
Dans la suite, on fait l’hypothèse {A\in V} obtenue à la question 1.
2. a) Soit {B\in V}, écrit par blocs : {B=\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\[4pt]B_{21}&B_{22}\end{pmatrix},}où les blocs appartiennent respectivement à {M_r(\mathbb{C})}, {M_{r,m-r}(\mathbb{C})}, {M_{m-r,r}(\mathbb{C})} et {M_{m-r}(\mathbb{C})}.
Montrer que {B_{22}=0} et {B_{21}B_{12}=0}.
On pourra considérer les mineurs de taille {r+1} de {tA+B}, pour {t\in\mathbb{C}}.
2. b) Soient {B,C\in V}, écrits sous la forme : {\begin{array}{l}B=\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\[4pt]B_{21}&0\end{pmatrix},\\[8pt]C=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}\\[4pt]C_{21}&0\end{pmatrix}.\end{array}}Montrer que {B_{21}C_{12}+C_{21}B_{12}=0}.
3. On note {W} l’intersection de {V} avec l’espace des matrices de la forme : {\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]B_{21}&0\end{pmatrix}.}On définit l’application linéaire {\varphi:M_m(\mathbb{C})\to M_{r,m}(\mathbb{C})} par : {\begin{array}{l}\displaystyle\varphi\left(\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\[4pt]B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}\right)\\[8pt]\qquad=(B_{11}\ \ B_{12}).\end{array}}
3. a) Écrivons {C=(C_{11}\ \ C_{12})\in M_{r,m}(\mathbb{C})}, avec {C_{11}\in M_r(\mathbb{C})} et {C_{12}\in M_{r,m-r}(\mathbb{C})}.
Soit {\psi:W\to M_{r,m}(\mathbb{C})^\vee} l’application linéaire envoyant la matrice {B} de blocs {B_{11}=B_{12}=B_{22}=0} sur la forme {C\mapsto\operatorname{Tr}(B_{21}C_{12})}.
En posant {s=\dim W}, montrer que {\dim\varphi(V)\leqslant mr-s}.
4. a) Soient {r,m,n\geqslant1} avec {r\leqslant n\leqslant m}.
Montrer que si {E\subset M_{m,n}(\mathbb{C})} est un sous-espace dont tous les éléments ont un rang au plus égal à {r}, alors {\dim E\leqslant mr}.