Écoles normales supérieures 2024 — Mathématiques D — MP
Tout au long de ce sujet, la notation {A\overset{\mathrm{déf}}=B} indique que le symbole {A} est défini comme étant égal à {B}.
Rappelons que, pour tout réel {\alpha}, la série numérique {\sum\limits_{n=0}^{\infty}\alpha^n/n!} converge vers un réel strictement positif noté {e^\alpha}, appelé exponentielle de {\alpha}.
L’application {\alpha\mapsto e^\alpha} est une bijection de {\mathbb R} dans {\mathbb R_{>0}} et satisfait, pour tous {\alpha,\beta\in\mathbb R}, à {e^{\alpha+\beta}=e^\alpha e^\beta}.
Le but du sujet est de donner une preuve du résultat suivant, cas particulier du théorème d’Hermite-Lindemann-Weierstrass. Théorème 1. Soit {r\geq2} un entier. Si {a_1,\ldots,a_r\in\mathbb Q} sont distincts, les réels {e^{a_1},\ldots,e^{a_r}} sont linéairement indépendants sur {\mathbb Q}.
Chemin faisant, nous établirons quelques propriétés arithmétiques des séries entières à coefficients rationnels solutions d’une équation différentielle.
La preuve suit l’article « An Alternative Proof of the Lindemann–Weierstrass Theorem » de F. Beukers, J. P. Bézivin et P. Robba, American Mathematical Monthly 97 (1990), 193–197, cité par l’énoncé.
A. Quelques conséquences
1. Pour {a\in\mathbb Q_{>0}}, notons {\log(a)} l’unique réel tel que {e^{\log a}=a}. Déduire du théorème 1 que {\log(a)} est irrationnel pour tout rationnel strictement positif {a\neq1}.
Une série entière à coefficients rationnels est une suite {(c_n)_{n\geq0}} de rationnels, que l’on écrit formellement {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n}.
Le mot « formellement » signifie que l’on ne suppose aucune convergence après substitution d’un réel à {x}. Pour {g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}d_nx^n}, les opérations sont définies par : {\begin{array}{l}(f+g)(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(c_n+d_n)x^n,\\[4pt](fg)(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^n c_kd_{n-k}\right)x^n.\end{array}}Les éléments neutres sont les suites {(0,0,\ldots)} et {(1,0,0,\ldots)}, notées {0} et {1}.
La dérivée de {f} est définie par : {f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}x^n.}La dérivation est linéaire et satisfait à la règle de Leibniz {(fg)'=f'g+fg'}.
On note {\mathbb Q[[x]]} l’ensemble de ces séries. Les polynômes {\mathbb Q[x]} s’identifient aux séries dont tous les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang.
3. Soit {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n\in\mathbb Q[[x]]} à coefficients entiers. Montrer que, s’il existe un réel {\alpha\geq1} tel que {\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n\alpha^n} converge, alors {f} est un polynôme.
4. Soit {Q\in\mathbb Q[x]} tel que {Q(0)\neq0}. Montrer qu’il existe une unique série {f\in\mathbb Q[[x]]} satisfaisant à {Qf=1}.
Montrer que si {Q} est à coefficients entiers et si son terme constant vaut {1} ou {-1}, alors {f} est à coefficients entiers.
On note {\mathbb C(x)} l’ensemble des fractions rationnelles {P/Q}, avec {P,Q\in\mathbb C[x]} et {Q\neq0}, et {\mathbb Q(x)} celles qui admettent une telle écriture à coefficients rationnels.
Pour {\alpha\in\mathbb C} et un polynôme non nul {R}, on note {\operatorname{ord}_\alpha(R)} la multiplicité de sa racine {\alpha}, ou zéro si {R(\alpha)\neq0}.
Un nombre {\alpha} est un pôle de la fraction non nulle {P/Q} si {\operatorname{ord}_\alpha(Q)>\operatorname{ord}_\alpha(P)}. L’ordre du pôle est la différence de ces deux entiers. La fraction nulle n’a pas de pôle.
5. Montrer que, si {0} n’est pas un pôle de {P/Q\in\mathbb Q(x)}, il existe une unique série {g\in\mathbb Q[[x]]} telle que {P=Qg}.
Montrer que l’application {P/Q\mapsto g} est compatible avec l’addition et la multiplication, et qu’elle envoie : {\left(\frac PQ\right)'=\frac{P'Q-PQ'}{Q^2}}sur la série dérivée {g'}.
Une série {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n} est dite globalement bornée s’il existe des entiers {A,B\geq1} tels que : {Af(Bx)=\sum_{n=0}^{\infty}AB^nc_nx^n}soit à coefficients entiers.
7. Montrer que le développement en série entière de toute fraction rationnelle à coefficients rationnels est globalement borné.
8. Montrer que : {\sum_{m=0}^{\infty}x^{m^2}=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n,}où {c_n=1} si {n} est un carré et {c_n=0} autrement, n’est pas le développement d’une fraction rationnelle.
On définit la primitive formelle de {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n} par : {\int_0^x f(t)\,\mathrm dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{n+1}x^{n+1}.}
9. Donner un exemple de développement d’une fraction rationnelle dont la primitive n’est pas le développement d’une fraction rationnelle.
10.Question plus difficile. Soit {f} le développement de {P/Q\in\mathbb Q(x)} dont tous les pôles sont rationnels. Supposons que {F=\int_0^x f(t)\,\mathrm dt} soit globalement bornée. Montrer que {F} est le développement d’une fraction rationnelle dans {\mathbb Q(x)}.
Un opérateur différentiel désigne ici une expression : {L=\sum_{j=0}^\mu R_j(x)\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^j,}où {\mu\geq0} et {R_0,\ldots,R_\mu\in\mathbb Q[x]}. Si {R_\mu\neq0}, son ordre est {\mu}.
Il agit sur les séries formelles par {L\cdot f=\sum\limits_{j=0}^\mu R_j(x)f^{(j)}(x)}, où {f^{(j)}} est la dérivée formelle d’ordre {j}.
11. Montrer l’égalité suivante pour tous {m,\mu\geq0}. En notant {\partial=\mathrm d/\mathrm dx} pour alléger l’écriture : {\begin{array}{rl}\partial^\mu(x^mf)&=x^m\partial^\mu f\\[4pt]&\quad+\displaystyle\sum_{i=1}^{\min(\mu,m)}\gamma_i x^{m-i}\partial^{\mu-i}f,\end{array}}où : {\begin{array}{rl}\gamma_i&=\dfrac{m(m-1)\cdots(m-i+1)}{i!}\\[4pt]&\quad\times\mu(\mu-1)\cdots(\mu-i+1).\end{array}}
Une série {f\in\mathbb Q[[x]]} est dite solution d’une équation différentielle d’ordre {\mu} s’il existe un opérateur non nul {L} d’ordre {\mu} tel que {L\cdot f=0}.
12. Montrer que le développement de toute fraction rationnelle à coefficients rationnels est solution d’une équation différentielle d’ordre {1}.
13. Montrer que {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n\in\mathbb Q[[x]]} est solution d’une équation différentielle si et seulement s’il existe {d\geq0} et des polynômes non tous nuls {S_0,\ldots,S_d\in\mathbb Z[x]} tels que, pour tout {n\geq0} : {S_0(n)c_n+\cdots+S_d(n)c_{n+d}=0.}
14. Donner une nouvelle preuve, fondée sur les questions 12 et 13, du fait que {\sum\limits_{m=0}^{\infty}x^{m^2}} n’est pas le développement d’une fraction rationnelle.
17. Montrer que {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{n!}x^n} est solution d’une équation différentielle si et seulement si sa transformée de Laplace : {\widehat f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n}est solution d’une équation différentielle.
Soient {r\geq2}, des rationnels distincts {a_1,\ldots,a_r}, et des rationnels non nuls {b_1,\ldots,b_r}. Posons : {e^{a_ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_i^n}{n!}x^n,}et considérons : {f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u_n}{n!}x^n=\sum_{i=1}^r b_ie^{a_ix}.}
18. Montrer que {\widehat f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}u_nx^n} est le développement de la fraction rationnelle : {\sum_{i=1}^r\frac{b_i}{1-a_ix}.}En déduire que {f} n’est pas la série nulle.
21. En déduire que, si {v} est le développement d’une fraction rationnelle {P/Q}, tout élément de l’ensemble non vide {\{1/a_i:a_i\neq0\}} est un pôle de {P/Q}.
Nous avons ainsi réduit la démonstration du théorème 1 à celle de la proposition suivante, objet des parties E et F. Proposition 1. Si {b_1e^{a_1}+\cdots+b_re^{a_r}=0}, alors {v(x)} est le développement d’une fraction rationnelle à coefficients rationnels.
On appelle polynôme exponentiel toute série de la forme : {f(x)=\sum_{i=1}^s P_i(x)e^{c_ix},}où {c_1,\ldots,c_s\in\mathbb Q} et {P_1,\ldots,P_s\in\mathbb Q[x]}.
23. Montrer que le théorème 1 est équivalent à l’énoncé suivant : si un polynôme exponentiel {f} satisfait à {f(1)=\sum\limits_{i=1}^sP_i(1)e^{c_i}=0}, alors {f(x)/(x-1)} est encore un polynôme exponentiel.
Rappelons l’hypothèse {b_1e^{a_1}+\cdots+b_re^{a_r}=0} de la proposition 1. Quitte à multiplier {f} par un entier non nul, on peut supposer que {u_0,\ldots,u_{r-1}} sont entiers. On fait désormais cette hypothèse.
Définissons {s_1,\ldots,s_r\in\mathbb Q} par : {\prod_{i=1}^r(T-a_i)=T^r-s_1T^{r-1}-\cdots-s_r.}
24. Montrer que, pour tout {n\geq0} : {u_{n+r}=s_1u_{n+r-1}+\cdots+s_ru_n.}
Soit {D\geq1} un dénominateur commun entier des rationnels {a_1,\ldots,a_r}, et soit : {A=\max(1,|a_1|,\ldots,|a_r|).}Coquille de l’énoncé. Le dernier indice est imprimé {n} dans ce maximum ; il faut lire {r}, puisque la liste fixée comporte {r} nombres.
25. Montrer que {D^nu_n\in\mathbb Z} pour tout {n\geq0}.
Pour tous {n,k\geq0}, définissons {v_n(k)} par : {(1-s_1x-\cdots-s_rx^r)^kv(x)=\sum_{n=0}^{\infty}v_n(k)x^n.}Dans les réponses suivantes, on abrégera le polynôme récurrent en : {q(x)=1-s_1x-\cdots-s_rx^r=\prod_{i=1}^r(1-a_ix).}
27. Montrer que {v} est le développement d’une fraction rationnelle si et seulement s’il existe {k\geq0} tel que {\sum\limits_{n=0}^{\infty}v_n(k)x^n} soit un polynôme.
30. Soit {\ell\geq0}. Montrer qu’il existe {P_\ell\in\mathbb Q[x]} de degré strictement inférieur à {r(\ell+1)} tel que : {\begin{array}{l}\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-\ell+1)u_{n-\ell}x^n\\[4pt]\quad=\displaystyle \frac{P_\ell(x)}{q(x)^{\ell+1}}.\end{array}}
31. Définissons : {w_{n,k}=n!\sum_{i=0}^{n-k}\frac{u_i}{i!},}et : {\sum_{n=0}^{\infty}w_n(k)x^n=q(x)^k\sum_{n=0}^{\infty}w_{n,k}x^n.}Montrer que {w_n(k)=v_n(k)} pour tous {n,k} tels que {n\geq kr}.
33. Montrer l’égalité : {v_n(k)=\sum_{i=1}^r b_ie^{a_i}I_i,}en notant, pour présenter l’intégrale sur une ligne distincte : {I_i=\int_{a_i}^{\infty}e^{-t}t^{n-kr}\prod_{j=1}^r(t-a_j)^k\,\mathrm dt.}
Dans cette partie, nous démontrons la proposition 1, concluant ainsi la démonstration du théorème 1. D’après la question 27, il suffit de prouver qu’il existe {k_0\geq0} tel que {\sum\limits_{n=0}^{\infty}v_n(k_0)x^n} soit un polynôme.
34. Montrer que, si {v_n(k)\neq0} et {n\geq kr}, alors : {k!\leq|D^nv_n(k)|\leq c_2(AD)^nC^k.}
Dans cette dernière partie, on généralise à une classe plus large de séries l’énoncé de la question 23 : le quotient par {x-1} d’un polynôme exponentiel s’annulant en {1} est encore un polynôme exponentiel.
Une fonction {E} à coefficients rationnels est une série : {f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}x^n\in\mathbb Q[[x]]}satisfaisant aux deux conditions suivantes. (a) Elle est solution d’une équation différentielle. (b) Il existe {C>0} tel que, pour tout {n\geq1} : {|b_n|\leq C^n,\qquad\operatorname{dén}(b_0,\ldots,b_n)\leq C^n.}La notation {\operatorname{dén}(b_0,\ldots,b_n)} désigne le plus petit entier {d\geq1} tel que {db_0,\ldots,db_n} soient tous entiers.
Les polynômes rationnels sont des exemples de fonctions {E}. La notation {\widehat f} désigne toujours la transformée formelle introduite en question 17.
37. Montrer que, si {f} est une fonction {E}, la série numérique {\sum\limits_{n=0}^{\infty}(b_n/n!)\alpha^n} converge pour tout réel {\alpha}. On note {f(\alpha)} sa valeur.
38. Soit {f} une fonction {E} qui n’est pas un polynôme. Montrer qu’il existe {R>0} tel que {\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n\alpha^n} diverge pour tout réel {\alpha} avec {|\alpha|>R}.
41. Soit {f} un polynôme exponentiel. Montrer que {f} est une fonction {E} telle que {\widehat f} est le développement d’une fraction rationnelle à pôles rationnels.
42. Montrer que, si {\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n} est le développement d’une fraction rationnelle à pôles rationnels, alors {\sum\limits_{n=0}^{\infty}(b_n/n!)x^n} est une fonction {E}.
43. Montrer que la fonction de Bessel : {J_0(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n!)^2}\left(\frac x2\right)^{2n}}est une fonction {E} telle que : {(1+x^2)\widehat J_0(x)^2=1.}En déduire que {J_0} n’est pas un polynôme exponentiel.
Ce dernier résultat est l’un des ingrédients de la méthode mise en place par Y. André à la fin des années 1990 pour démontrer le théorème de Siegel-Shidlovskii.
Ce théorème de transcendance concerne les valeurs des fonctions {E} en des nombres rationnels. Il généralise le théorème d’Hermite-Lindemann-Weierstrass et implique, par exemple, que {J_0(\alpha)} est transcendant pour tout rationnel non nul {\alpha}. Fin du sujet.