CCINP 2024 — Mathématiques 2 — MP
Durée : 4 heures. Calculatrices interdites.
Le sujet est composé de deux exercices et d’un problème, tous indépendants.
Exercice 1
{A=\begin{pmatrix}-4&2&-2\\[8pt]-6&4&-6\\[8pt]-1&1&-3\end{pmatrix}}est diagonalisable et déterminer une matrice {P} telle que {P^{-1}AP} soit diagonale.
{\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=-4u_n+2v_n-2w_n,\\[8pt]v_{n+1}=-6u_n+4v_n-6w_n,\\[8pt]w_{n+1}=-u_n+v_n-3w_n.\end{array}\right.}Pour tout {n\in\mathbb N}, on pose
{X_n=\begin{pmatrix}u_n\\[8pt]v_n\\[8pt]w_n\end{pmatrix},}{Y_n=P^{-1}X_n=\begin{pmatrix}\alpha_n\\[8pt]\beta_n\\[8pt]\gamma_n\end{pmatrix}.}Exprimer {Y_n} en fonction de {\alpha_0}, {\beta_0}, {\gamma_0} et {n}.
À quelle condition sur {(u_0,v_0,w_0)} les trois suites convergent-elles simultanément ? Expliciter alors ces suites.
Exercice 2
Pour {n\in\mathbb N^*}, on note {S_n} le groupe des permutations de l’ensemble {\llbracket0,n-1\rrbracket}.
Une permutation de {S_n} sera représentée en Python par une liste, dont l’élément d’indice {i} est l’image de {i} par cette permutation.
Par exemple, la liste [3, 1, 0, 2] représente la permutation {\sigma\in S_4} définie par
{\sigma(0)=3,\quad\sigma(1)=1,\quad\sigma(2)=0,\quad\sigma(3)=2.}Dans tout l’exercice, on pourra utiliser librement les tests Python x in L et x not in L, permettant de vérifier respectivement la présence ou l’absence de x dans la liste L.
s est une liste Python représentant une permutation de {S_4}, quelle instruction Python permet de trouver l’image de {1} par cette permutation ?Quelle liste Python représente la transposition {(2\ 3)\in S_4} ?
comp(s1, s2) prenant en entrée deux listes représentant des permutations {\sigma_1} et {\sigma_2} du même groupe de permutations et renvoyant la liste représentant {\sigma_1\circ\sigma_2}.inv(s) prenant en entrée une liste représentant une permutation {\sigma} et renvoyant la liste représentant {\sigma^{-1}}.Écrire une fonction Python
groupe(G) prenant en entrée une liste de listes, où chaque sous-liste représente une permutation de {S_n}, et renvoyant True s’il s’agit bien d’un sous-groupe de {S_n}, False sinon.cyclique(s) prenant en entrée une liste s représentant une permutation {\sigma} de {S_n} et renvoyant le sous-groupe de {S_n} engendré par {\sigma}, sous la forme d’une liste de listes.Problème
Le but de ce problème est de démontrer et utiliser plusieurs critères pour prouver qu’une matrice symétrique réelle est définie positive.
On rappelle que, pour un entier naturel non nul {n}, une matrice symétrique {M\in\mathcal M_n(\mathbb R)} est dite définie positive si et seulement si
{\forall X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\setminus\{0\},\quad X^{\mathsf T}MX>0.}
{A=\begin{pmatrix}2&1\\[8pt]1&1\end{pmatrix}}est définie positive.
Caractérisation spectrale
{P(X)=X^3-6X^2+9X-3}admet trois racines réelles distinctes, sans chercher à les déterminer.
Démontrer alors que la matrice
{B=\begin{pmatrix}1&0&1\\[8pt]0&2&1\\[8pt]1&1&3\end{pmatrix}}est définie positive grâce à la caractérisation spectrale.
Un critère en dimension 2
Dans cette partie, on souhaite démontrer la caractérisation suivante : une matrice symétrique {M\in\mathcal M_2(\mathbb R)} est définie positive si et seulement si sa trace et son déterminant sont strictement positifs.
{f(x,y)=x+y+\frac1{xy},}admet un extremum local. Préciser s’il s’agit d’un minimum local ou d’un maximum local.
Le critère de Sylvester
Dans cette partie, on étudie le critère de Sylvester, valable en toute dimension.
Pour une matrice carrée {M=(m_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb R)} et un entier {k\in\llbracket1,n\rrbracket}, on définit le {k}-ième mineur principal comme étant le déterminant de la matrice
{M_k=(m_{ij})_{1\leq i,j\leq k}\in\mathcal M_k(\mathbb R).}On précise qu’une matrice carrée de taille {n} possède {n} mineurs principaux au sens adopté dans cet énoncé : il s’agit des mineurs principaux de tête.
Par exemple, pour la matrice {B} de Q10, les trois matrices considérées sont
{B_1=(1),\qquad B_2=\begin{pmatrix}1&0\\[8pt]0&2\end{pmatrix},}{B_3=B=\begin{pmatrix}1&0&1\\[8pt]0&2&1\\[8pt]1&1&3\end{pmatrix}.}On dit qu’une matrice vérifie le critère de Sylvester si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs.
On souhaite démontrer la caractérisation suivante : une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si elle vérifie le critère de Sylvester.
Par exemple, pour {B}, on constate que
{\det B_1=1>0\;\det B_2=2>0,\;\det B_3=3>0}La matrice {B} vérifie le critère de Sylvester ; elle est donc définie positive.
{X_k=\begin{pmatrix}x_1\\[8pt]\vdots\\[8pt]x_k\end{pmatrix}\in\mathcal M_{k,1}(\mathbb R).}Déterminer un vecteur colonne {X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\setminus\{0\}} tel que
{X_k^{\mathsf T}M_kX_k=X^{\mathsf T}MX.}
Dans les deux questions suivantes, il s’agit de démontrer la réciproque : toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive.
Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la taille {n} de la matrice.
{M=\begin{pmatrix}M_{n-1}&U\\[8pt]U^{\mathsf T}&\alpha\end{pmatrix},}avec {M_{n-1}\in\mathcal M_{n-1}(\mathbb R)}, {U\in\mathcal M_{n-1,1}(\mathbb R)} et {\alpha\in\mathbb R}.
On suppose que {M_{n-1}} est définie positive. Justifier l’existence d’un vecteur colonne {V\in\mathcal M_{n-1,1}(\mathbb R)} tel que {M_{n-1}V+U=0}.
En notant
{Q=\begin{pmatrix}I_{n-1}&V\\[8pt]0_{1,n-1}&1\end{pmatrix},}démontrer alors que
{Q^{\mathsf T}MQ=\begin{pmatrix}M_{n-1}&0_{n-1,1}\\[8pt]0_{1,n-1}&\beta\end{pmatrix}}avec {\beta>0}.
{C(x)=\begin{pmatrix}2&1&0\\[8pt]1&1&x\\[8pt]0&x&1\end{pmatrix}}est-elle définie positive ?
{M=\begin{pmatrix}2&2&1&4&5\\[8pt]2&3&-1&1&-1\\[8pt]1&-1&1&3&1\\[8pt]4&1&3&5&0\\[8pt]5&-1&1&0&1\end{pmatrix}}est-elle définie positive ? Justifier.
{4x^2+y^2+z^2+2xy-3xz>0.}
{S_n=\begin{pmatrix}\sqrt3&1&0&\cdots&0\\[8pt]1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\[8pt]0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[8pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\[8pt]0&\cdots&0&1&\sqrt3\end{pmatrix}\in\mathcal M_n(\mathbb R)}est-elle définie positive ?