2023-Centrale-Pc2-corrigé

Centrale-Supélec 2023 — PC — Mathématiques 2

Notations

{\mathbb R_n[X]} désigne les polynômes réels de degré inférieur ou égal à {n}. On pose {H_0=1} et, pour {j\geq1}, {H_j=\frac1{j!}\prod_{i=0}^{j-1}(X-i).}Les coefficients binomiaux vérifient {\binom00=1} et {\binom nk=0} si {k>n}. Enfin, {\llbracket a,b\rrbracket} désigne l’ensemble des entiers compris entre {a} et {b}.

I — Utilisation de séries entières

I.A — Une première formule

Q 1. Donner sans démonstration le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle {\sum\limits_{n\geq0}x^n}.
Q 2. En déduire le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle {\sum\limits_{n\geq0}nx^n}.
Q 3. Pour {k\in\mathbb N}, montrer que la série {\sum\limits_{n\geq0}\binom nkx^n} a pour rayon {1} et que, pour {x\in]-1,1[}, {\sum_{n=0}^{+\infty}\binom nkx^n=\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}.\qquad\text{(I.1)}}

I.B — Utilisation d’une famille de polynômes

Pour {k\in\mathbb N}, on note {f_k(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}n^kx^n}. Pour {k=0}, on adopte ici {0^0=1}, conformément à l’évaluation du polynôme constant {X^0}.

Q 4. Montrer que, pour tout {k\in\mathbb N}, {f_k} est définie sur {]-1,1[}.
Q 5. Soit {k\in\mathbb N}. Montrer que {(H_0,\ldots,H_k)} est une base de {\mathbb R_k[X]} et qu’il existe une unique famille {(\alpha_{k,0},\ldots,\alpha_{k,k})} telle que {X^k=\sum_{j=0}^k\alpha_{k,j}H_j.}
Q 6. Pour {k\in\mathbb N}, donner les valeurs de {\alpha_{k,0}} et {\alpha_{k,k}}.
Q 7. Pour {1\leq j\leq k}, montrer que {\alpha_{k,j}=j^k-\sum_{i=0}^{j-1}\binom ji\alpha_{k,i}.}
Q 8. Écrire une fonction Python alpha(k, j) renvoyant {\alpha_{k,j}}. On dispose de binome(n, k), qui renvoie {\binom nk}.
Q 9. Montrer que, pour tout {k\in\mathbb N}, il existe un unique polynôme réel {P_k} tel que {f_k(x)=P_k(x)/(1-x)^{k+1}} pour {x\in]-1,1[} et que {P_k=\sum_{j=0}^k\alpha_{k,j}X^j(1-X)^{k-j}.}
Q 10. À l’aide de alpha, écrire une fonction Python P(k) renvoyant la liste des coefficients de degré {0} à {k} de {P_k}.
Q 11. Montrer que, pour tout {k\in\mathbb N}, {P_{k+1}=X(1-X)P'_k+(k+1)XP_k.}
Q 12. Calculer explicitement {P_2} et {P_3}.
Q 13. Déterminer le degré et le coefficient dominant de {P_k}, pour tout {k\in\mathbb N}.
Q 14. Montrer que, pour {k\in\mathbb N^*} et {x\in]0,1[}, {x^{k+1}P_k(1/x)=P_k(x).}
Q 15. En déduire un lien entre les coefficients de degré {j} et {k+1-j} de {P_k}, pour {k\geq1} et {0\leq j\leq k}.

I.C — Une dernière formule

On note {R} le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\geq0}\binom{2n}n x^n}.

Q 16. Déterminer {R} et montrer que, pour {x\in]-R,R[}, {\sum_{n=0}^{+\infty}\binom{2n}n x^n=\frac1{\sqrt{1-4x}}.}
Q 17. Montrer que, pour {0\lt |x|\lt R}, {\sum_{n=0}^{+\infty}\binom{2n}n\frac{x^n}{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.\qquad\text{(I.2)}}
Q 18. En déduire, pour {0\lt |x|\lt R}, {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{k=0}^n\frac1{k+1}\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\right)x^n\\[12pt]\qquad=\displaystyle\frac1{2x}\left(\frac1{\sqrt{1-4x}}-1\right).\end{array}}
Q 19. Montrer que, pour {n\in\mathbb N}, {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac1{k+1}\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\\[12pt]\qquad=\displaystyle\frac12\binom{2n+2}{n+1}.\qquad\text{(I.3)}\end{array}}

II — Étude de sommes doubles

On considère des familles {(a_{i,j})_{(i,j)\in\mathbb N^2}} et leurs deux sommes itérées. On admet les résultats suivants.

Si tous les termes sont positifs ou nuls, les deux sommes itérées existent dans {[0,+\infty]} et sont égales. Si l’une est finie, l’autre l’est aussi.

Si {\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\sum\limits_{j=0}^{+\infty}|a_{i,j}|} est finie, les deux sommes itérées des {a_{i,j}} existent et sont égales.

II.A — Applications

II.A.1 — Une première application
Soit {x\in]-1,1[}.

Q 20. Montrer que {\sum\limits_{n\geq1}nx^n/(1-x^n)} converge et que {\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{nx^n}{1-x^n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}nx^{n(1+k)}.}
Q 21. Montrer que {\sum\limits_{p\geq1}x^p/(1-x^p)^2} converge et que sa somme égale celle de {\sum\limits_{n\geq1}nx^n/(1-x^n)}.

II.A.2 — Une seconde application
On admet {\sum\limits_{k=1}^{+\infty}1/k^2=\pi^2/6}.

Q 22. Montrer que l’on peut définir, pour {n\geq1}, {u_n=n\sum_{k=n}^{+\infty}\frac1{k^3(k+1)}.}
Q 23. Montrer que {\sum\limits_{n\geq1}u_n} converge et calculer sa somme.

II.B — Contre-exemples

II.B.1 — Un premier contre-exemple
Pour {(i,j)\in\mathbb N^2}, on définit {b_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}0&\text{si }i>j,\\[8pt]-1&\text{si }i=j,\\[8pt]2^{-(j-i)}&\text{si }i\lt j.\end{array}\right.}

Q 24. Montrer l’existence de {\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\sum\limits_{j=0}^{+\infty}b_{i,j}} et calculer sa valeur.
Q 25. Montrer l’existence de {\sum\limits_{j=0}^{+\infty}\sum\limits_{i=0}^{+\infty}b_{i,j}} et calculer sa valeur.
Q 26. A-t-on {\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\sum\limits_{j=0}^{+\infty}b_{i,j}=\sum\limits_{j=0}^{+\infty}\sum\limits_{i=0}^{+\infty}b_{i,j}} ?

II.B.2 — Un second contre-exemple
Pour {(i,j)\in\mathbb N^2}, on définit {c_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}0&\text{si }i>j,\\[8pt]j&\text{si }i=j,\\[8pt]-2i3^{i-j}&\text{si }i\lt j.\end{array}\right.}

Q 27. Montrer l’existence de {\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\sum\limits_{j=0}^{+\infty}c_{i,j}} et calculer sa valeur.
Q 28. Pour {j\in\mathbb N}, montrer que {\sum\limits_{i\geq0}c_{i,j}} converge et que {\sum_{i=0}^{+\infty}c_{i,j}=\frac12\frac{3^j-1}{3^{j-1}}.}
Q 29. Quelle est la nature de la série {\sum\limits_{j\geq0}\sum\limits_{i=0}^{+\infty}c_{i,j}} ?

III — Probabilités

Toutes les variables aléatoires sont discrètes, définies sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}. On fixe {p\in]0,1[}.

III.A — Un conditionnement

{X} suit la loi géométrique de paramètre {p} sur {\mathbb N^*} : {\mathbb P(X=n)=p(1-p)^{n-1}}. La variable {Y} est à valeurs dans {\mathbb N} et, sachant {X=n}, suit la loi de Poisson de paramètre {n} : {\mathbb P(Y=k\mid X=n)=e^{-n}\frac{n^k}{k!}.}

Q 30. Déterminer la loi conjointe de {X} et {Y}.
Q 31. Calculer {\mathbb P(Y=0)} et montrer que, pour {k\geq1}, {\mathbb P(Y=k)=\frac{p}{(1-p)k!}f_k\left(\frac{1-p}{e}\right).}
Q 32. Vérifier que {\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\mathbb P(Y=k)=1}.
Q 33. Montrer que {Y} admet une espérance finie et la calculer.
Q 34. Montrer que {Y} admet une variance et la calculer.

III.B — Pile ou face infini

On considère une suite {(X_n)_{n\geq1}} de variables de Bernoulli de paramètre {p}, indépendantes. L’événement {[X_n=1]} signifie que le {n}-ième lancer donne pile, et {[X_n=0]} qu’il donne face.

Pour {n\geq1}, {A_n} signifie qu’après les {2n} premiers lancers il y a autant de piles que de faces. L’événement {B_n} signifie que cette égalité a lieu pour la première fois après ces {2n} lancers.

Par exemple, pour la suite (face, face, pile, pile, face, pile), {A_1} n’est pas réalisé, {A_2} et {A_3} le sont ; {B_2} est réalisé, mais ni {B_1} ni {B_3}.

Enfin, {C} signifie qu’il y a autant de piles que de faces au bout d’un certain nombre non nul de lancers. On admet que les {A_n}, les {B_n} et {C} sont des événements.

Q 35. Soit {n\in\mathbb N^*}. Exprimer {A_n} à l’aide de la variable aléatoire {X_1+\cdots+X_n} et en déduire {\mathbb P(A_n)}.
Q 36. Montrer que les événements {(B_n)_{n\geq1}} sont deux à deux incompatibles.
Q 37. Montrer que {C} est un événement et que {\mathbb P(C)=\sum_{n=1}^{+\infty}\mathbb P(B_n).}
Q 38. On pose {A_0=\Omega}. Montrer que, pour {n\geq1}, {\mathbb P(A_n)=\sum_{k=1}^n\mathbb P(B_k)\mathbb P(A_{n-k}).}
Q 39. À l’aide notamment de (I.3), montrer que, pour {n\geq1}, {\mathbb P(B_n)=\frac2n\binom{2n-2}{n-1}\bigl(p(1-p)\bigr)^n.}
Q 40. Si {p\ne1/2}, montrer que {\mathbb P(C)=1-\sqrt{1-4p(1-p)}} ; on pourra utiliser (I.2).
Q 41. Si {p=1/2}, montrer que {\mathbb P(C)=1}.