Q 5. On suppose qu’une solution de {(E)} s’écrit {\sum\limits_{n\ge0}a_nx^n}, avec un rayon de convergence {R\gt0}. Montrer que {a_1=0} et, pour {n\ge2}, {a_n=-a_{n-2}/n^2}.
Q 6. En utilisant un théorème d’interversion série-intégrale, montrer que {f} est développable en série entière au voisinage de {0} et exprimer ses coefficients en fonction de {(W_n)}.
Une particule part de {0} à l’instant {0} et se déplace à chaque instant entier d’un pas vers la droite ou la gauche.
Soit {p\in]0,1[}. Sur un espace probabilisé {(\Omega,\Sigma,P)}, les variables {(X_t)_{t\ge1}} sont indépendantes et de même loi : {P(X_t=1)=p,\quad P(X_t=-1)=1-p.}Pour {n\ge1}, {S_n=\sum\limits_{t=1}^nX_t} est la position après {n} déplacements. On rappelle la formule de Stirling : {n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n.}Partie I — Un développement en série entière
Q 9. Soit {\alpha\in\mathbb R\setminus\mathbb N}. Donner sans démonstration le développement en série entière de {(1+x)^\alpha} au voisinage de {0}, en précisant son rayon de convergence.
Q 12. En déduire, pour {n\ge1}, {u_n=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\binom n{n/2}[p(1-p)]^{n/2}&n\text{ pair},\\[8pt]0&n\text{ impair}.\end{array}\right.}
Partie III — Nombre de passages par l’origine
Pour {j\in\mathbb N}, {O_{2j}} vaut {1} si la particule est à l’origine à l’instant {2j}, et {0} sinon. On pose {T_n=\sum_{j=0}^nO_{2j}.}On souhaite déterminer la limite de {E(T_n)}.
Problème 2 — Puissances de matrices et limites de suites de matrices
Pour {n,p\ge1}, avec {p=1} ou {p=n}, on considère des matrices {M_k=(m_{ij}^{(k)})\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb C)}. Ces espaces sont munis d’une norme notée {\|\cdot\|}.
On rappelle que {M_k\to A=(a_{ij})} équivaut à {\|M_k-A\|\to0}, et aussi à {m_{ij}^{(k)}\to a_{ij}} pour chaque coefficient. Une matrice colonne est assimilée à un vecteur de {\mathbb C^n}.
On étudie en particulier la suite des puissances {(M^k)} d’une matrice donnée. Partie I — Diagonalisation et puissances d’une matrice particulière
Soit {n\ge3}. Pour {(a,b)\in\mathbb C^2}, la matrice {M(a,b)} a tous ses coefficients diagonaux égaux à {b} et tous ses autres coefficients égaux à {a} : {M(a,b)=\begin{pmatrix}b&a&\cdots&a\\[8pt]a&b&\cdots&a\\[8pt]\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[8pt]a&a&\cdots&b\end{pmatrix}.}On note {P_{a,b}} son polynôme caractéristique et {I_n} la matrice identité. On remarque que {M(a,b)=bI_n+aM(1,0)}.
Q 18. On suppose ici {(a,b)\in\mathbb R^2}. Montrer que {M(a,b)} est diagonalisable.
Q 22. On pose {Q_{a,b}(X)=(X-(b-a))(X-(b+(n-1)a))}. Montrer que {Q_{a,b}} annule {M(a,b)} et en déduire sa diagonalisabilité, en distinguant {a=0} et {a\ne0}.
Q 23. Soit {k\in\mathbb N} et {a\ne0}. Déterminer le reste de la division de {X^k} par {Q_{a,b}} et en déduire une expression de {M(a,b)^k} comme combinaison de {M(a,b)} et {I_n}.
Partie II — Limite des puissances d’une matrice
Soit {n\ge1}. L’espace {\mathbb C^n} est muni d’une norme {\|\cdot\|} et de sa base canonique {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)}.
Soit {u} un endomorphisme dont toutes les valeurs propres vérifient {|\lambda|\lt1}. Sa matrice dans {\mathcal B} est {A}. Le but est de montrer {A^k\to0}.
Jusqu’à Q28, on suppose {A=T} triangulaire supérieure, de diagonale {(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)}.
Q 25. Montrer que {\|u^k(e_1)\|\to0} et en déduire la limite de {u^k(e_1)}.
On suppose qu’il existe {i\in\{1,\ldots,n-1\}} tel que {u^k(e_j)\to0} pour tout {j\le i}.
Q 26. Montrer qu’il existe {x\in\operatorname{Vect}(e_1,\ldots,e_i)} tel que {u(e_{i+1})=\lambda_{i+1}e_{i+1}+x}. En déduire, pour {k\ge1}, {\begin{array}{rl}u^k(e_{i+1})&=\lambda_{i+1}^ke_{i+1}\\[8pt]&\displaystyle\quad+\sum_{m=0}^{k-1}\lambda_{i+1}^{k-m-1}u^m(x).\end{array}}
Partie III — Application à la méthode de Gauss-Seidel
Soit {A=(a_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb C)} à diagonale strictement dominante : pour chaque {i}, {|a_{ii}|\gt\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.}On admet que {A} est inversible. On écrit {A=M-F}, où {M} est la partie triangulaire inférieure de {A} et {F} la partie triangulaire supérieure stricte de {-A}.
Autrement dit, {m_{ij}=a_{ij}} et {f_{ij}=0} si {i\ge j} ; {m_{ij}=0} et {f_{ij}=-a_{ij}} si {i\lt j}.
Pour {Y\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb C)} donné, {X} désigne l’unique solution de {AX=Y}. On cherche une suite convergeant vers {X}.
Soit {\lambda} une valeur propre de {B}, et {V=(v_1,\ldots,v_n)^\top} un vecteur propre associé. On convient qu’une somme vide vaut {0}.
Q 32. Montrer que {FV=\lambda MV}. En déduire, pour chaque {i}, {\begin{array}{rl}\lambda a_{ii}v_i&\displaystyle=-\sum_{j=i+1}^na_{ij}v_j\\[8pt]&\displaystyle\quad-\lambda\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}v_j.\end{array}}
Q 33. Montrer qu’il existe {i_0} tel que {|v_{i_0}|=\max_{1\le j\le n}|v_j|} et {v_{i_0}\ne0}. En déduire {\begin{array}{rl}|\lambda a_{i_0i_0}|&\displaystyle\le\sum_{j=i_0+1}^n|a_{i_0j}|\\[8pt]&\displaystyle\quad+|\lambda|\sum_{j=1}^{i_0-1}|a_{i_0j}|.\end{array}}