Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}. À l’instant {0}, la file contient un client. À chaque instant {k\in\mathbb N^*}, il arrive au plus un nouveau client. On note {X_k} l’indicatrice de cette arrivée.
Les variables {(X_k)_{k\geq1}} sont indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètre {p\in]0,1[}. Le client initial a l’indice {0} ; les autres sont numérotés suivant leur ordre d’arrivée.
Pour une variable {X} à valeurs dans {\mathbb N}, on rappelle la définition de sa fonction génératrice : {G_X(t)=\sum_{j=0}^{+\infty}\mathbb P(X=j)t^j.}
Partie I — Temps d’arrivée du n-ième client
Q 1. On note {T_1} le temps écoulé entre l’instant {0} et l’arrivée du client d’indice {1}. Justifier que, pour {k\in\mathbb N^*}, {\mathbb P(T_1=k)=(1-p)^{k-1}p}.
Q 2. On note {A} l’événement « aucun nouveau client n’arrive dans la file ». Exprimer {A} en fonction des événements {\{T_1=k\}}, {k\in\mathbb N^*}. En déduire {\mathbb P(A)}. Interpréter.
Q 5. Pour {n\in\mathbb N^*}, {T_n} est le temps écoulé entre les arrivées des clients d’indices {n-1} et {n}. On admet que les {T_n} sont indépendantes et de même loi. On pose {D_n=T_1+\cdots+T_n}.
Calculer l’espérance, la variance et la fonction génératrice {G_{D_n}} de {D_n}.
Q 6. Rappeler le développement en série entière de {(1+x)^\alpha} au voisinage de {0}, pour {\alpha\in\mathbb R}.
En déduire celui de {G_{D_n}} et montrer que, pour {(k,n)\in(\mathbb N^*)^2}, {\mathbb P(D_n=k)=\left\{\begin{array}{ll}0&\text{si }k\lt n,\\[8pt]\binom{k-1}{k-n}p^n(1-p)^{k-n}&\text{sinon}.\end{array}\right.}
Q 9. Soit {\psi:]0,1]\to\mathbb R}, {\psi(x)=\ln x-a(x-1)}. Montrer que, pour tout {x>0}, {\begin{array}{l}0\leq\psi(x)\ \Longleftrightarrow\ f(x)\leq x,\\[8pt]\psi(x)=0\ \Longleftrightarrow\ f(x)=x.\end{array}}
Q 11. On suppose {a>1}. Étudier le signe de {\psi} et montrer que {f(x)=x}, pour {x\in[0,1]}, admet exactement deux solutions {\alpha} et {1}, avec {\alpha\in]0,1[}.
En distinguant {z_1\in]0,\alpha]} et {z_1\in]\alpha,1[}, montrer que {z_n\to\alpha}.
Un unique serveur traite les clients suivant leur ordre d’arrivée. La durée de service de chaque client suit une loi de Poisson de paramètre {\lambda>0}.
On note {S} la durée de service du client initial. Les variables {S} et {(X_n)_{n\geq1}} sont supposées indépendantes. Les clients du premier groupe sont ceux arrivés pendant ce service.
Pour {k\geq2}, les clients du {k}-ième groupe sont ceux arrivés pendant le service des clients du groupe précédent. On note {V_k} leur nombre. Si un groupe est vide, tous les groupes suivants sont vides.
Q 12. Quelle est la situation concrète décrite par l’événement {Z=\bigcup_{n\in\mathbb N^*}\{V_n=0\}} ?
Q 21. On admet que {\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi/2}. Montrer que, pour {n\in\mathbb N}, {\Gamma\left(n+\frac12\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt\pi.}
Q 22. Pour {k\in\mathbb N^*}, on pose {\rho_k=\ln k-\int_{k-1/2}^{k+1/2}\ln t\,dt}. Montrer que, pour {n\in\mathbb N^*}, {\begin{array}{l}\displaystyle \ln\Gamma(n)\\[8pt]\displaystyle \quad=\int_{1/2}^{n-1/2}\ln t\,dt+\sum_{k=1}^{n-1}\rho_k.\end{array}}Pour {n=1}, la somme est nulle par convention.
Q 23. Montrer que, pour {k\in\mathbb N^*}, {\begin{array}{l}\rho_k=\displaystyle\int_0^{1/2}\bigl(2\ln k-\ln(k+t)-\ln(k-t)\bigr)\,dt\\[8pt]\phantom{\rho_k}=\displaystyle\int_0^{1/2}-\ln\left(1-\dfrac{t^2}{k^2}\right)\,dt.\end{array}}
Q 26. Pour {x>0} et {n\in\mathbb N^*}, on admet l’intégrabilité de {t\mapsto t^{x-1}(1-t/n)^n} sur {]0,n]} et on pose {\Gamma_n(x)=\int_0^nt^{x-1}\left(1-\frac tn\right)^n\,dt.}Montrer que {\Gamma_n(x)=n^x\int_0^1u^{x-1}(1-u)^n\,du.}
Q 28. On définit {\mathbf1_{]0,n[}}, égale à {1} sur {]0,n[} et à {0} ailleurs. En écrivant {\begin{array}{l}\displaystyle \Gamma_n(x)\\[8pt]\displaystyle \quad=\int_0^{+\infty}\mathbf1_{]0,n[}(t)t^{x-1}\left(1-\frac tn\right)^n\,dt,\end{array}}utiliser la convergence dominée pour montrer que {\Gamma_n(x)\to\Gamma(x)} pour {x>0}.
En déduire {\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^xn!}{x(x+1)\cdots(x+n)}.}
Q 29. Montrer que, pour {x>0}, {\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(n)n^x}\longrightarrow1.}En déduire que {e^c=\sqrt{2\pi}}, où {c} est défini en Q25. On pourra faire appel aux résultats de Q19 et Q20.
Soit {p\geq2}. Pour {\lambda\in\mathbb R}, on définit {J_\lambda\in\mathcal M_p(\mathbb R)} par {J_\lambda=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda&0&\cdots&\cdots&0\\[8pt]1&\lambda&\ddots&&\vdots\\[8pt]0&1&\ddots&\ddots&\vdots\\[8pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[8pt]0&\cdots&0&1&\lambda\end{array}\right).}Les matrices de Jordan interviennent dans la réduction des matrices dont le polynôme caractéristique est scindé : de telles matrices sont semblables à des matrices diagonales par blocs de Jordan.
On étudie une propriété d’irréductibilité, puis le caractère borné des solutions du système différentiel associé.
Une matrice {M} est nilpotente s’il existe {k\in\mathbb N} tel que {M^k=0}. Le plus petit tel entier est son indice de nilpotence. On note {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_p)} la base canonique de {\mathbb R^p}.
Un sous-espace {V} est stable par {f} lorsque {f(V)\subset V}. Sur {E=\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)} et sur {\mathcal M_p(\mathbb R)}, on utilise les normes admises suivantes : {\begin{array}{l}N(A)=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p|a_{ij}|^2\right)^{1/2},\\[8pt]\|X\|=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^p|x_i|^2\right)^{1/2}.\end{array}}
Partie I — Irréductibilité de Jλ
On note {u_\lambda} l’endomorphisme de {\mathbb R^p} canoniquement associé à {J_\lambda}.
Q 30. Calculer {u_0^2(e_j)} pour {j\in\llbracket1,p\rrbracket} et en déduire {J_0^2}. Calculer de même {J_0^{p-1}} et {J_0^p}. En déduire que {J_0} est nilpotente d’indice {p}.
Soit {V} stable par {u_\lambda}, de dimension {k\in\llbracket1,p\rrbracket}. On note {v} l’endomorphisme induit sur {V}. Une base {(\widetilde e_1,\ldots,\widetilde e_k)} de {V} est complétée en une base {\widetilde{\mathcal B}} de {\mathbb R^p}.
Q 33. Quelle est la forme de la matrice de {u_\lambda} dans {\widetilde{\mathcal B}} ?
On considère le système {(S)\;X'=J_\lambda X}, dont les solutions sont les fonctions {X:\mathbb R\to E} de classe {\mathcal C^1} vérifiant cette identité.
Pour {t\in\mathbb R}, on définit {\exp(tJ_\lambda)=e^{\lambda t}\sum_{k=0}^{p-1}\frac{t^k}{k!}J_0^k.}
Q 36. Montrer que, si {X_0} est un vecteur propre de {J_\lambda} associé à {\lambda}, alors {\widetilde X(t)=e^{\lambda t}X_0} est solution de {(S)}.
Q 37. On pose {\varphi(t)=\exp(tJ_\lambda)}. Montrer que {\varphi} est dérivable et que {\varphi'(t)=J_\lambda\exp(tJ_\lambda)=\exp(tJ_\lambda)J_\lambda.}
Q 38. Justifier que {\exp(tJ_\lambda)=e^{\lambda t}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{t^k}{k!}J_0^k.}Montrer que cette matrice est inversible, d’inverse {\exp(-tJ_\lambda)}.
Q 39. Montrer que {X} est solution de {(S)} si et seulement si {Y(t)=\exp(-tJ_\lambda)X(t)} est constante. En déduire que les solutions sont exactement {X(t)=\exp(tJ_\lambda)X_0}, avec {X_0\in E}.
Q 41. Montrer que {\|AX\|\leq N(A)\|X\|} pour {A\in\mathcal M_p(\mathbb R)} et {X\in E}. En déduire que, si {\lambda\lt 0}, toutes les solutions de {(S)} sont bornées sur {\mathbb R_+}.