On note {\llbracket m;n\rrbracket} l’ensemble des entiers compris entre {m} et {n}, et {n!} la factorielle, avec {0!=1}.
Pour {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, {\mathcal M_{n,m}(\mathbb K)} désigne l’espace des matrices à {n} lignes et {m} colonnes. Le coefficient de ligne {i} et de colonne {j} de {A} est noté {[A]_{i,j}}. On note {{}^tA} sa transposée et {\overline A} sa conjuguée, définie par {[\overline A]_{i,j}=\overline{[A]_{i,j}}}.
On pose {\mathcal M_n(\mathbb K)=\mathcal M_{n,n}(\mathbb K)}. On note {I_n} la matrice identité, {0_n} la matrice nulle, {\det A} le déterminant, et l’on convient que {A^0=I_n}. Une matrice de taille {1} est identifiée à son coefficient.
On note {\mathbb K[X]} l’espace des polynômes à coefficients dans {\mathbb K}, et {\mathbb K_n[X]} ceux de degré au plus {n}. La dérivée {k}-ième de {P} est notée {P^{(k)}}, avec {P^{(0)}=P}. Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}.
Dans tout le sujet, {n\geq2}. Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}, on note {\operatorname{Spec}(A)} son spectre complexe et {\varrho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\operatorname{Spec}(A)\}.}On pose {\mathcal V(A)=\{P\in\mathbb C[X]:P\ne0,\ P(A)=0_n\}.}Pour une suite complexe {u=(u_k)_{k\geq0}}, on note {R_u} le rayon de convergence de {\sum u_kz^k} et {\begin{array}{l}D_u=\{z\in\mathbb C:|z|\lt R_u\},\\[8pt]U(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_kz^k\quad(z\in D_u).\end{array}}On définit les suites dérivées par {\begin{array}{l}u^{(0)}=u,\quad u_k^{(1)}=(k+1)u_{k+1},\\[8pt]u^{(m+1)}=(u^{(m)})^{(1)},\\[8pt]U^{(m)}(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_k^{(m)}z^k\quad(z\in D_{u^{(m)}}).\end{array}}Pour une autre suite {v}, on définit {u+v} terme à terme et le produit de convolution {u\star v} par {(u\star v)_k=\sum_{i=0}^ku_iv_{k-i}.}Une matrice {A} est compatible avec {u} lorsque {\varrho(A)\lt R_u}. On note {\mathbb M_n(u)=\{A\in\mathcal M_n(\mathbb C):\varrho(A)\lt R_u\}.}Les parties III et IV sont majoritairement indépendantes.
Partie I — Préliminaires
Soit {u=(u_k)_{k\geq0}} une suite complexe.
(1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur {R_u} pour que {\mathbb M_n(u)=\varnothing}, et donner un exemple de suite {u} pour laquelle cette égalité a lieu.
(6) Pour une autre suite complexe {v}, montrer que {\begin{array}{l}\mathbb M_n(u)\cap\mathbb M_n(v)\\[8pt]\quad\subset\mathbb M_n(u+v)\cap\mathbb M_n(u\star v).\end{array}}
(9) On pose {m=\min\{\deg P:P\in\mathcal V(A)\}.}Montrer qu’il existe un unique polynôme {p} appartenant à {\mathcal V(A)}, de degré {m}, et unitaire. On le note désormais {\phi_A}.
On note {\lambda_1,\ldots,\lambda_\ell} les valeurs propres distinctes de {A} et {m_i\geq1} leurs multiplicités comme racines de {\phi_A}. Ainsi {\begin{array}{l}\phi_A(X)=\displaystyle\prod_{i=1}^\ell(X-\lambda_i)^{m_i},\\[8pt]m=\displaystyle\sum_{i=1}^\ell m_i.\end{array}}
(13) Montrer que l’application {T:\mathbb C_{m-1}[X]\to\mathbb C^m}, qui à {P} associe les valeurs {P^{(k)}(\lambda_i)} pour {1\leq i\leq\ell} et {0\leq k\lt m_i}, rangées dans cet ordre, est un isomorphisme.
En déduire qu’il existe un unique {Q\in\mathbb C_{m-1}[X]} tel que {\begin{array}{l}\displaystyle Q^{(k)}(\lambda_i)\\[8pt]\displaystyle \quad=U^{(k)}(\lambda_i)\quad(1\leq i\leq\ell,\ 0\leq k\lt m_i).\end{array}}
Dans toute la suite, on pose {u(A)=Q(A)}, avec le polynôme {Q} de Q13.
(14) Soit {P\in\mathbb C[X]}. Montrer que {u(A)=P(A)} si et seulement si {\begin{array}{l}\displaystyle P^{(k)}(\lambda_i)\\[8pt]\displaystyle \quad=U^{(k)}(\lambda_i)\quad(1\leq i\leq\ell,\ 0\leq k\lt m_i).\end{array}}
(16) On suppose {n=2}. Déterminer {u(A)} pour {A=\left(\begin{array}{cc}\alpha&\gamma\\[8pt]0&\beta\end{array}\right),}où {\alpha,\beta,\gamma} sont réels, {\alpha\ne\beta}, et {\alpha,\beta\in D_u}. Exprimer le résultat à l’aide de {U(\alpha)} et {U(\beta)}.
(18) Soit {v} une suite complexe telle que {A\in\mathbb M_n(v)}. On suppose ici que toutes les valeurs propres de {A} sont réelles. Justifier que {A\in\mathbb M_n(u\star v)} et montrer que {(u\star v)(A)=u(A)v(A).}
Pour {k\in\llbracket1;\ell\rrbracket}, on définit le polynôme, dépendant de {A}, {Q_k^A(X)=\prod_{1\leq j\leq\ell,\,j\ne k}\frac{X-\lambda_j}{\lambda_k-\lambda_j}.}
(20.a) Montrer que {u(A)=\sum\limits_{k=1}^\ell U(\lambda_k)Q_k^A(A)}.
On suppose désormais {n\geq4} et {R_u>1}, condition notée {(C^\star)}.
Pour la question 23, on considère {H=\left(\begin{array}{ccccc}0&1&0&\cdots&0\\[8pt]0&0&1&\ddots&\vdots\\[8pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[8pt]\vdots&&\ddots&\ddots&1\\[8pt]0&\cdots&\cdots&0&0\end{array}\right).}
(23.b) Soit {A=H+\alpha I_n}, avec {|\alpha|\lt R_u}. Montrer que {u(A)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{U^{(k)}(\alpha)}{k!}H^k.}En déduire que {u(A)} est triangulaire supérieure, avec {U(\alpha)} sur la diagonale et {U^{(k)}(\alpha)/k!} sur la {k}-ième surdiagonale.
Pour la question 25, on pose {\omega=e^{-2\pi i/n}}, où {i^2=-1}, et l’on définit {\begin{array}{l}\displaystyle [F]_{k,j}\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac1{\sqrt n}\omega^{(k-1)(j-1)}\quad(1\leq k,j\leq n).\end{array}}
(25.a) Montrer que {F} est inversible et que {F^{-1}=\overline F}.
(25.d) En déduire la formule suivante, écrite en deux termes pour en faciliter la lecture : {\begin{array}{l}u(F)=A_++A_-,\\[8pt]A_+=\dfrac14\left(\begin{array}{l}U(1)(F+I_n)\\[8pt]\quad-U(-1)(F-I_n)\end{array}\right)\\[8pt]\quad\times(F^2+I_n),\\[8pt]A_-=\dfrac i4\left(\begin{array}{l}U(i)(F+iI_n)\\[8pt]\quad-U(-i)(F-iI_n)\end{array}\right)\\[8pt]\quad\times(F^2-I_n).\end{array}}
Pour la question 26, on suppose {u_k=\mathbb P(X=k)} pour tout {k\in\mathbb N}, où {X} est à valeurs dans {\mathbb N}.
(26.a) On suppose {X\sim\mathcal B(N,p)}. Vérifier la condition {(C^\star)} et trouver une expression simple de {u(A)} pour toute {A\in\mathbb M_n(u)}.
(26.b) On suppose que {X} suit une loi géométrique de paramètre {p\in]0,1[}. Vérifier {(C^\star)} et montrer que, pour toute {A\in\mathbb M_n(u)} diagonalisable, {u(A)=p\bigl(I_n-(1-p)A\bigr)^{-1}A.}