Volumes, formes alternées et sous-espaces orientés
On fixe un entier {p\ge1}. On note {\mathfrak S_p} le groupe des permutations de {\{1,\ldots,p\}} et {\epsilon} leur signature. Pour {x_j=(x_{ij})_{1\le i\le p}\in\mathbb R^p}, le produit mixte est {\begin{array}{rl}\displaystyle [x_1,\ldots,x_p]&=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^px_{\sigma(i),i}\\[10pt]\displaystyle &=\det(x_1|\cdots|x_p).\end{array}}Une application {f:F^p\to G} est {p}-linéaire alternée si elle est linéaire en chaque variable et si {\begin{array}{l}\displaystyle f(u_{\sigma(1)},\ldots,u_{\sigma(p)})\\[10pt]\displaystyle \quad=\epsilon(\sigma)f(u_1,\ldots,u_p).\end{array}}On note {\mathcal A_p(F,G)} l’espace de ces applications.
On considère un espace euclidien {E} de dimension {d\ge1}, de produit scalaire {\langle\cdot,\cdot\rangle} et de norme associée {\|\cdot\|}. Pour {u,v\in E^p}, on pose {\operatorname{Gram}(u,v)_{ij}=\langle u_i,v_j\rangle.}
Partie I
Soient {V,V'} deux sous-espaces de dimension {p} de {E}.
(1) (a) Montrer qu’il existe des vecteurs unitaires {u_1\in V}, {u'_1\in V'} tels que {\displaystyle \langle u_1,u'_1\rangle=\sup_{\substack{a\in V,\ a'\in V'\\[4pt]\|a\|=\|a'\|=1}}\langle a,a'\rangle}
(1) (b) Montrer qu’il existe des familles orthonormées {u=(u_1,\ldots,u_p)} dans {V} et {u'=(u'_1,\ldots,u'_p)} telles que le premier couple réalise le maximum précédent et, pour {2\le k\le p}, {\langle u_k,u'_k\rangle=\sup\langle a,a'\rangle,}où le supremum porte sur les vecteurs unitaires {a\in V}, {a'\in V'} vérifiant {\langle a,u_\ell\rangle=\langle a',u'_\ell\rangle=0} pour {1\le\ell\lt k}.
(3) (b) Pour {1\le k\le p-1}, montrer que {u'_k\in\operatorname{Vect}(u_{k+1},\ldots,u_p)^\perp}. On pourra dériver {u_k(t)=(u_k+tu_\ell)/\|u_k+tu_\ell\|} pour {\ell>k}.
(3) (c) Montrer que, pour {1\le k\le p-1}, {u_{k+1}\in\left(\begin{array}{l}\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_k)\\[4pt]+\operatorname{Vect}(u'_1,\ldots,u'_k)\end{array}\right)^\perp.}
(8) (b) Pour {p\ge2}, soit {\operatorname{pr}} la projection orthogonale sur {\operatorname{Vect}(e_2,\ldots,e_p)^\perp}. Montrer que {\operatorname{vol}_p(e)=\|\operatorname{pr}(e_1)\|\operatorname{vol}_{p-1}(e_2,\ldots,e_p).}
(8) (c) Pour une famille libre {e}, montrer que {\operatorname{vol}_p(e)\le\prod\limits_{i=1}^p\|e_i\|}, avec égalité si et seulement si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
(9) (a) Si {e} est libre et {b} une base orthonormée de {\operatorname{Vect}(e)}, montrer que {\operatorname{vol}_p(e)=|\det P_b^e|}, où {e_j=\sum\limits_i(P_b^e)_{ij}b_i}.
Soit {e=(e_1,\ldots,e_d)} une base orthonormée de {E} et {1\le p\le d}. On pose {\mathcal I_p=\{(i_1,\ldots,i_p):1\le i_1\lt \cdots\lt i_p\le d\},}et {e_\alpha=(e_{i_1},\ldots,e_{i_p})}. Pour {\omega,\omega'\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)}, on définit {\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{\alpha\in\mathcal I_p}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha).}
(10) (a) Montrer que {\omega=\sum\limits_{\alpha\in\mathcal I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)}.
(10) (b) Montrer que la formule définit un produit scalaire pour lequel {(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in\mathcal I_p}} est une base orthonormée. Donner la dimension de {\mathcal A_p(E,\mathbb R)}.
Pour {1\le p\le d}, deux bases {e,e'} d’un même sous-espace {V} de dimension {p} ont la même orientation lorsque {\det_e(e')>0}. On admet que cette relation possède exactement deux classes, appelées orientations de {V}.
Un sous-espace orienté est un couple {(V,C)}, où {C} est une orientation de {V}. On note {\widetilde{\operatorname{Gr}}(p,E)} l’ensemble de ces couples.
(13) (a) Pour deux familles libres {e,e'} de cardinal {p}, montrer que {\Omega_p(e)} et {\Omega_p(e')} sont colinéaires si et seulement si {\operatorname{Vect}(e)=\operatorname{Vect}(e')}.
(13) (b) Montrer qu’il existe un unique {\Psi(V,C)\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)} tel que {\Omega_p(e)=\operatorname{vol}_p(e)\Psi(V,C)} pour toute base {e\in C}.