On note {\mathbb C[[z]]} l’algèbre des séries formelles {f=\sum\limits_{k\ge0}(f)_kz^k}, munie de l’addition coefficient par coefficient et du produit de Cauchy {(fg)_k=\sum_{i=0}^k(f)_i(g)_{k-i}.}Une telle série n’est pas supposée convergente. On note {\rho(f)\in[0,+\infty]} son rayon de convergence et {f(z)} sa somme lorsqu’elle existe.
L’espace {O_k} est celui des séries dont les coefficients de degrés strictement inférieurs à {k} sont nuls. On pose {[f]_d=\sum\limits_{k=0}^d(f)_kz^k}, de sorte que {f-[f]_d\in O_{d+1}}. La série identité est notée {I} ou {z}.
On note {\widehat f=\sum\limits_{k\ge0}|(f)_k|z^k}. Pour {r\in[0,+\infty]}, sa valeur est la somme positive, éventuellement infinie, {\widehat f(r)=\sum\limits_{k\ge0}|(f)_k|r^k}. Un terme de coefficient nul vaut zéro, même pour {r=+\infty}.
Enfin, {f\prec g} signifie {|(f)_k|\le|(g)_k|} pour tout {k}. Dans les séries majorantes, « coefficients positifs » est entendu au sens positif ou nul.
A. Premières propriétés
(1) Si {\widehat f(|z|)\lt +\infty}, montrer que {f} converge en {z} et que {|f(z)|\le\widehat f(|z|)}. Donner un exemple d’inégalité stricte.
Pour {g\in O_1} et {f\in\mathbb C[[z]]}, on définit {(f\circ g)_m=\sum_{k=0}^m(f)_k(g^k)_m,}avec {g^0=1}. Chaque coefficient est donc défini par une somme finie.
(5) Pour {f\in O_n}, {n\ge0}, {g\in O_1}, {h\in O_\ell}, {\ell\ge1}, et {r\ge1}, montrer que {h^r\in O_{r\ell}}, {f\circ h\in O_{n\ell}} et {f\circ(g+h)-f\circ g\in O_{n+\ell-1}}.
(9) Soient {f,g} des séries, avec {g\in O_1}. Pour {|z|\lt \rho(\widehat f\circ\widehat g)}, montrer que {f} converge en {g(z)} et que {(f\circ g)(z)=f(g(z))}.
Soit {g\in O_1} à coefficients positifs. On suppose qu’il existe {a,b>0} tels que {g\prec a\left(I+\frac{g^2}{b-g}\right).}Le quotient signifie ici la composée de {z^2/(b-z)=\sum\limits_{j\ge2}z^j/b^{j-1}} avec {g}.
(11) Construire une fonction {h} développable en série entière près de zéro, telle que {h(0)=0} et {h(x)=a\left(x+\frac{h(x)^2}{b-h(x)}\right).}
(18) Supposons {\widehat F(s)\le\alpha s}, avec {s>0} et {0\lt \alpha\lt 1}. Montrer que, pour {d\ge2}, {\widehat{[G]_d}((1-\alpha)s)\le\alpha s,}puis que {\widehat G((1-\alpha)s)\le\alpha s}.
On écrit {f=\lambda I+F}, {F\in O_2}, avec {\lambda\ne0} et {\lambda^n\ne1} pour tout {n\ge1}. On cherche une unique série {h=I+H}, {H\in O_2}, telle que {h^\dagger\circ f\circ h=\lambda I}.
(19) Montrer qu’il existe un unique {H\in O_2} tel que {H\circ(\lambda I)-\lambda H=F\circ(I+H).}
On suppose {|\lambda|=1} et {\lambda} non racine de l’unité. Les nombres {\omega_k=|\lambda^k-\lambda|}, {k\ge2}, sont strictement positifs, mais on admet qu’ils ne sont pas minorés par une constante strictement positive.
Pour {m\ge1}, on pose {\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_m=\min(1/5,\omega_{m+1},\ldots,\omega_{2m}),\quad\gamma_m\\[8pt]\displaystyle \quad=\alpha_m^{2/m}.\end{array}}Ainsi {0\lt \alpha_m\le1/5} et {0\lt \gamma_m\lt 1}.
(24) Pour {F\in O_{m+1}}, {m\ge1}, avec {\rho(F)>0}, montrer qu’il existe {r_0\in]0,1[} tel que {\widehat F(r)\le r} sur {[0,r_0]}. Puis montrer, pour {0\lt \gamma\lt 1}, que {\widehat F(r)\le\gamma^m r} sur {[0,\gamma r_0]}.
(28) Pour {f=\lambda I+F}, {F\in O_2} de rayon positif, prendre {r_0} comme en (24) et définir {\begin{array}{l}\displaystyle r_{k+1}\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac{1-\alpha_{2^k}}{(1+\alpha_{2^k})(1+\alpha_{2^k}^2)}\gamma_{2^k}r_k.\end{array}}Construire {F_k,P_k\in O_2}, avec {F_0=F}, tels que {\begin{array}{l}\displaystyle \lambda I+F_{k+1}\\[8pt]\displaystyle \quad=(I+P_k)^\dagger\circ(\lambda I+F_k)\circ(I+P_k),\end{array}}{\begin{array}{l}\displaystyle F_k,P_k\in O_{1+2^k},\quad\widehat F_k(r_k)\\[8pt]\displaystyle \quad\le r_k,\quad\widehat P_k(r_{k+1})\le r_k-r_{k+1}.\end{array}}
(29) On pose {r_\infty=\lim r_k} et {h_k=(I+P_0)\circ\cdots\circ(I+P_{k-1})}. Justifier l’existence de {r_\infty}, montrer que {\widehat h_k(r_k)\le r_0}, puis en déduire pour la série {h} de E que {\widehat h(r_\infty)\le r_0} et {\rho(h)\ge r_\infty}.