2024-E3A-Mp2-Corrigé

E3A 2024 — MPI — Mathématiques

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Exercice 1

Soit {E} l’espace des fonctions réelles continues et bornées sur {\mathbb R}. Pour {f\in E}, on note {N_0(f)=\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|}.

Questions de cours

1. Rappeler l’ensemble de définition, la parité, l’ensemble de dérivabilité et la dérivée de {x\mapsto\arctan x}.
2. Donner le tableau des variations et l’allure de la courbe de {\arctan}, avec sa tangente en {0} et ses éventuelles asymptotes.
3. Justifier que {\arctan\in E} et donner {N_0(\arctan)}.
4. Pour {v} dérivable sur un intervalle {I}, calculer la dérivée de {t\mapsto\arctan(v(t))}.

On rappelle {(u\circ v)'=(u'\circ v)v'}.

5. Simplifier {t\mapsto\arctan t+\arctan(1/t)}.

6. Soit {f\in E}.

6.1. Montrer que {t\mapsto\arctan(xt)f(t)/(1+t^2)} est intégrable sur {[0,+\infty[} pour tout réel {x}.
6.2. On pose {\Phi(f)(x)=\int_0^{+\infty}\arctan(xt)\frac{f(t)}{1+t^2}\,dt.} Montrer que {\Phi(f)\in E}.
6.3. Montrer que l’on peut se restreindre à {[0,+\infty[} pour étudier {\Phi(f)}.
7. Montrer que {\Phi} est un endomorphisme de {E}.
8. Montrer que {\Phi(f)} est de classe {\mathcal C^1} sur {]0,+\infty[} pour tout {f\in E}.

9. Soit {(h_n)} une suite de fonctions de {E} convergeant uniformément sur {\mathbb R} vers une fonction {h}.

9.1. Justifier que {h} est continue sur {\mathbb R}.
9.2. Montrer que {h\in E}.

10. Soit {f_0} la fonction constante égale à {1}, et {g=\Phi(f_0)}.

10.1. Déterminer la limite de {g} en {+\infty}, en justifiant les hypothèses du théorème utilisé.
10.2. Pour {x>0}, exprimer {g'(x)} sous forme intégrale.
10.3. Pour {x>0}, simplifier {g(x)+g(1/x)}.

10.4. Une autre expression de g′

10.4.1. Pour {x>0}, {x\ne1}, décomposer en éléments simples {F(T)=\frac1{(1+x^2T)(1+T)}.}
10.4.2. Montrer que {g'(x)=\ln(x)/(x^2-1)} pour {x>0}, {x\ne1}.
10.4.3. Donner l’expression de {g'} sur tout {]0,+\infty[}.
10.5. Donner le tableau des variations et l’allure de la courbe de {g} sur {\mathbb R}, avec ses asymptotes et son comportement au voisinage de {0}.

Exercice 2

On note {i^2=-1}, {E_n=\mathbb C_n[X]} pour {n\ge1}, et {\mathbb U=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}}.

Questions préliminaires

1. Pour {f:\mathbb R\to\mathbb C} continue, écrivons {f=g+ih} avec {g=\operatorname{Re}f} et {h=\operatorname{Im}f}. Montrer que {\overline{\int_0^{2\pi}f(t)\,dt}=\int_0^{2\pi}\overline{f(t)}\,dt.}
2. Si {P\in\mathbb C[X]} s’annule en tout point de {\mathbb U}, montrer que {P=0}.
3. Pour {z\ne0}, montrer que {z\in\mathbb U} si et seulement si {\overline z=1/z}.
4. Pour {P=1+iX} et {\theta\in\mathbb R}, déterminer les parties réelle et imaginaire de {P(e^{i\theta})}.
5. Justifier que la trace d’une matrice complexe est la somme de ses valeurs propres comptées avec leurs multiplicités.

Soit {n\ge1}. Pour {P,Q\in E_n}, on définit {\varphi(P,Q)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{P(e^{i\theta})}\,Q(e^{i\theta})\,d\theta.}

6.1. Évaluer {\varphi(X^k,X^\ell)} pour {0\le k,\ell\le n}.
6.2. Pour {a\in\mathbb C} et {P,Q,R\in E_n}, montrer que {\begin{array}{l}\varphi(aP+Q,R)=\overline a\,\varphi(P,R)+\varphi(Q,R),\\[8pt]\varphi(P,aQ+R)=a\varphi(P,Q)+\varphi(P,R),\\[8pt]\varphi(Q,P)=\overline{\varphi(P,Q)}.\end{array}}
6.3. Montrer que {\varphi(P,P)} est un réel positif ou nul.
6.4. Montrer que {\varphi(P,P)=0} si et seulement si {P=0}.

6.5. Soit {Q_0=X^n+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kX^k}, et {M=\sup_{z\in\mathbb U}|Q_0(z)|^2}.

6.5.1. Calculer {\varphi(Q_0,Q_0)} à l’aide des coefficients. On pourra utiliser Q6.1 et Q6.2.
6.5.2. Montrer que {M\ge1}.
6.5.3. Montrer que {M=1} si et seulement si {Q_0=X^n}.

Exercice 3

Question de cours

Soit une suite {(u_n)_{n\ge1}} vérifiant {u_{n+1}=au_n+b}, avec {a\in\mathbb R\setminus\{1\}} et {b\in\mathbb R}.

1.1. Exprimer {u_n} en fonction de {n,a,b,u_1}.
1.2. Préciser le comportement de la suite à l’infini.

Soient {n\ge1} et {N\ge2}. Un joueur lance indépendamment {n} boules dans {N} cases numérotées de {1} à {N}, chaque boule ayant une probabilité {1/N} de tomber dans chaque case. On note {T_n} le nombre de cases non vides après {n} lancers.

2. Déterminer les valeurs possibles de {T_n} en fonction de {n,N}.
3. Donner les lois de {T_1} et de {T_2}.

Pour la suite, on prend {n\ge2}.

4. Déterminer {\mathbb P(T_n=1)} et {\mathbb P(T_n=2)}.
5. Calculer {\mathbb P(T_n=n)}, en distinguant éventuellement {n\le N} et {n>N}.
6. Pour {1\le k\le n}, montrer que {\begin{array}{l}\mathbb P(T_{n+1}\!=\!k)=\\[8pt]\displaystyle\frac kN\mathbb P(T_n\!=\!k)\!+\!\frac{N\!-\!k\!+\!1}N\mathbb P(T_n\!=\!k\!-\!1)\end{array}}

7. On considère la fonction génératrice {G_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\mathbb P(T_n=k)x^k}.

7.1. Montrer que {G_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n\mathbb P(T_n=k)x^k}.
7.2. Montrer que {G_{n+1}(x)=\frac1N(x-x^2)G_n'(x)+xG_n(x)} pour tout réel {x}.
7.3. En dérivant l’expression précédente, montrer que {\mathbb E(T_{n+1})=(1-1/N)\mathbb E(T_n)+1}.
7.4. En déduire {\mathbb E(T_n)} et sa limite lorsque {n\to+\infty}.
7.5. Retrouver ce résultat avec les variables {X_i} valant {1} si la case {i} est non vide et {0} sinon.

Exercice 4

Soient {n\ge2}, {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, et {A=(a_{i,j})\in\mathcal M_n(\mathbb K)}. On dit que {A} est équitable si {\forall i,j,k\in\{1,\ldots,n\},\quad a_{i,j}=a_{i,k}a_{k,j}.}

1. Donner deux exemples de matrices équitables pour {n=3}.
2. Déterminer les matrices {A} pour lesquelles {A} et {-A} sont toutes deux équitables.
3. Montrer que la transposée d’une matrice équitable est équitable.
4. Si {A} est équitable, montrer que {a_{i,i}=a_{j,j}} pour tous {i,j}.

On suppose désormais que {A} est équitable et non nulle.

5. Calculer {a_{k,k}} pour {1\le k\le n}.
6. Si {B} est également équitable et non nulle, montrer que {A+B} n’est pas équitable.
7. Montrer que tous les coefficients de {A} sont non nuls.
8. Exprimer {a_{i,j}} à l’aide de {a_{i,1}} et {a_{j,1}}.

9. Quelques résultats remarquables

9.1. Montrer que {A} est de rang {1}.
9.2. Calculer {A^2}.
9.3. La matrice {A} est-elle diagonalisable ?
9.4. Montrer que {A} est semblable à {\operatorname{diag}(n,0,\ldots,0)}.
9.5. Montrer que {A} est semblable à la matrice {J} dont tous les coefficients valent {1}.
10. Montrer que {A} est symétrique si et seulement si tous ses coefficients appartiennent à {\{-1,1\}}.
11. Déterminer le nombre de matrices équitables symétriques non nulles.
12. Pour un sous-groupe fini {G} de {(\mathbb K^*,\times)}, déterminer le nombre de matrices équitables à coefficients dans {G}.
13. Déterminer toutes les matrices équitables de taille {2} à coefficients dans {\mathbb U_2}.