Critère de Schur-Cohn et généralisation au cas non inversible
Notations et objectifs
On fixe {n\geq1} et l’on note {\mathcal M_n(\mathbb R)}, {\mathcal S_n(\mathbb R)}, {\mathcal D_n(\mathbb R)} et {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)} les ensembles des matrices réelles carrées, symétriques, diagonales et inversibles. Une matrice d’ordre {1} est identifiée à son coefficient.
On note {M^{\mathsf T}} la transposée, {M_{ij}} le coefficient de ligne {i}, colonne {j}, et {\pi(M)} le nombre de valeurs propres réelles strictement positives, comptées avec multiplicité. On utilise la notation {\operatorname{Diag}(u_1,\ldots,u_n)}.
Le PGCD unitaire de deux polynômes non simultanément nuls est noté {f\wedge g}. On identifie un polynôme à sa fonction associée. On note {\sigma(f)} le nombre de ses racines réelles dans {]-1,1[}, comptées avec multiplicité ; par exemple {\sigma(X^2(X-1)(X+1))=2}.
Une racine réelle {\alpha} de {f} est dite stable si {\alpha\ne0} et {f(\alpha)=f(\alpha^{-1})=0}.
Pour {f=\sum\limits_{k=0}^ma_kX^k} de degré {m}, son réciproque est {f_0=\sum\limits_{k=0}^ma_{m-k}X^k}.
On pose {U=(1,0,\ldots,0)^{\mathsf T}} et {S_{ij}=\delta_{i+1,j}} : {S} a des {1} juste au-dessus de la diagonale et des {0} ailleurs. On définit
{J(f)=f_0(S)^{\mathsf T}f_0(S)-f(S)^{\mathsf T}f(S).}Le polynôme {p=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k}, avec {a_n\ne0}, est scindé sur {\mathbb R}. Ses racines, comptées avec multiplicité, sont {\alpha_1\leq\cdots\leq\alpha_n}.
On veut prouver {\sigma(p)=\pi(J(p))} lorsque {J(p)} est inversible, puis compter les racines dans {]-1,1[} dans le cas général. Ces résultats interviennent dans l’étude de la stabilité des systèmes dynamiques.
A — Polynôme réciproque et stabilité des racines
1. Montrer que {p_0(x)=x^np(1/x)} pour {x\ne0}, puis que {p_0=a_n\prod\limits_{j=1}^n(1-\alpha_jX)}.
Jusqu’à la fin de B, aucune racine de {p} n’est supposée stable.
On note {E} l’espace des fractions rationnelles réelles dont les pôles éventuels sont des inverses de racines de {p}. Leurs dénominateurs peuvent être choisis comme produits finis de facteurs {1-\alpha_iX}, le produit vide étant admis.
13. On pose {D=\operatorname{Diag}(1-\alpha_1^2,\ldots,1-\alpha_n^2)} et l’on définit {V} par ses colonnes {V_j=f_j(S^{\mathsf T})U}. Montrer que {J(p)=VDV^{\mathsf T}}.
On munit l’espace des colonnes de son produit scalaire euclidien. Un sous-espace {F} vérifie {(C_M)} si {X^{\mathsf T}MX\gt0} pour tout {X\in F\setminus\{0\}}.
On note {d(M)} la dimension maximale d’un tel sous-espace. Ce maximum existe : le sous-espace nul convient et les dimensions possibles appartiennent à {\{0,\ldots,n\}}.
15. Si {A=P^{\mathsf T}BP} avec {P} inversible, montrer que {d(B)\geq d(A)}, puis que {d(B)=d(A)}.
17. Si un sous-espace {G} de dimension strictement supérieure à {\pi(M)} vérifiait {(C_M)}, montrer que {\dim(F_M^\perp\cap G)\geq1} et en déduire que {d(M)=\pi(M)}.
E — Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité
19. Si {p} n’a aucune racine stable mais {J(p)} n’est pas inversible, montrer à l’aide de Q9 et Q13 qu’il existe un polynôme non nul {q} de degré au plus {n-1} tel que {q(S^{\mathsf T})U=0}.
22. Montrer qu’il existe {\eta\gt0} tel que, pour {1-\eta\lt r\lt1}, le polynôme {p(rX)} est scindé, possède exactement {\sigma(p)} racines dans {]-1,1[} et n’a aucune racine stable.
On admet que les valeurs propres d’une matrice symétrique, rangées dans l’ordre décroissant et comptées avec multiplicité, dépendent continûment de la matrice.
28. Proposer une méthode construisant un nombre fini, éventuellement nul, de polynômes {g_1,\ldots,g_\ell} dont les racines sont stables et simples, tels que {f=g_1\cdots g_\ell}.
Exprimer {\sigma(p)} à l’aide de {n}, {\deg g}, {\pi(J(g))}, {\ell} et des {\pi(J(g_i'))}.