Dans une lettre à Hardy du 23 février 1913, Ramanujan présentait une théorie attribuant la valeur {-1/12} à la somme {1+2+\cdots+n+\cdots}. Le problème étudie deux procédés faisant apparaître cette valeur, puis la constante de Ramanujan à partir d’Euler-Maclaurin, et enfin des développements tayloriens généralisés.
Il s’agit de valeurs attribuées par des procédés de régularisation ; la série ordinaire de terme général {n} diverge.
On note {\lfloor x\rfloor} la partie entière de {x}, caractérisée par {x-1\lt \lfloor x\rfloor\leq x}. Une fonction sur {\mathbb R_+} est à support compact s’il existe {K\geq0} tel qu’elle soit nulle sur {[K,+\infty[}.
Partie A — Deux approches pour une valeur à {1+2+\cdots}
I — Une première approche
On pose {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}e^{-nx}}.
Q 1. Déterminer l’ensemble de définition {D_f}, puis calculer {f}.
Soit {\varphi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R_+)} à support compact, avec {\varphi(0)=1}. On fixe {K>0} tel que {\varphi} soit nulle sur {[K,+\infty[}, et on pose {\psi(t)=t\varphi(t)}. Toutes les dérivées de {\psi} sont nulles sur {[K,+\infty[}.
II.1 — Sommes de Riemann pour une fonction de classe {\mathcal C^1}
Ici, {f\in\mathcal C^1([a,b])} et {x>0}.
Q 5. Déterminer les entiers naturels {n} tels que {a+nx\in]a,b]}.
II.2 — Développement asymptotique de {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n\varphi(nx)}
Pour alléger les formules, on note {m=\lfloor K/x\rfloor}. Pour {k,l\in\mathbb N}, on pose {R_{k,l}(x)=\sum_{n=1}^m\int_{(n-1)x}^{nx}\left(\int_{nx}^t\frac{(t-s)^k}{k!}\psi^{(k+l)}(s)\,ds\right)dt.}On admet la formule de Taylor avec reste intégral : {f(b)=\sum_{k=0}^p\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^b\frac{(b-t)^p}{p!}f^{(p+1)}(t)\,dt.}Toutes les limites suivantes en zéro sont prises à droite.
Q 9. Déterminer {\int_0^K\psi'(t)\,dt} et {\int_0^K\psi''(t)\,dt}.
Q 14. Pour {l\in\mathbb N} et {p\geq1}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=1}^m\int_{(n-1)x}^{nx}\bigl(\psi^{(l)}(t)-\psi^{(l)}(nx)\bigr)\,dt\\[8pt]\displaystyle=\sum_{k=1}^p\sum_{n=1}^m\int_{(n-1)x}^{nx}\frac{(t-nx)^k}{k!}\psi^{(k+l)}(nx)\,dt+R_{p,l+1}(x).\end{array}}
Partie B — Les sommes infinies au sens de Ramanujan
Soit {f\in\mathcal C^\infty(\mathbb R_+)}.
I — La formule d’Euler-Maclaurin
On admet l’existence et l’unicité de la famille de Bernoulli définie par {B_0=1}, {B_p'=pB_{p-1}} et {\int_0^1B_p(t)\,dt=0} pour {p\geq1}.
On pose {b_p=B_p(0)}, {\widetilde B_p(t)=B_p(t-\lfloor t\rfloor)} et {r_{p,a}=\int_1^a\frac{\widetilde B_p(t)}{p!}f^{(p)}(t)\,dt.}Les valeurs de {a} utilisées ci-dessous sont dans le domaine de {f}.
Q 24. Pour {p,k\in\mathbb N}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle\int_k^{k+1}\frac{f^{(p)}(t)}{p!}\widetilde B_p(t)\,dt\\[8pt]\displaystyle=\frac{B_{p+1}(1)f^{(p)}(k+1)-B_{p+1}(0)f^{(p)}(k)}{(p+1)!}\\[8pt]\displaystyle\phantom{=}-\int_k^{k+1}\frac{\widetilde B_{p+1}(t)}{(p+1)!}f^{(p+1)}(t)\,dt.\end{array}}
Q 26. Montrer que, pour {p,n\geq1}, {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{k=1}^nf(k)={}&\displaystyle\int_1^nf(t)\,dt+\frac{f(1)+f(n)}2\\[8pt]&\displaystyle+\sum_{l=1}^p\frac{b_{2l}}{(2l)!}\bigl(f^{(2l-1)}(n)-f^{(2l-1)}(1)\bigr)+r_{2p+1,n}.\end{array}}
On suppose qu’il existe {q\in\mathbb N} tel que, pour tout {p\geq q}, {f^{(2p+1)}} soit intégrable sur {\mathbb R_+} et tende vers zéro à l’infini.
On pose, sous réserve d’existence, {C_0=\frac{f(1)}2-\int_0^1f(t)\,dt+\int_1^{+\infty}\widetilde B_1(t)f'(t)\,dt,}et, pour {p\geq1}, {\begin{array}{rl}C_p={}&\displaystyle\frac{f(1)}2-\int_0^1f(t)\,dt-\sum_{l=1}^p\frac{b_{2l}}{(2l)!}f^{(2l-1)}(1)\\[8pt]&\displaystyle+\int_1^{+\infty}\frac{\widetilde B_{2p+1}(t)}{(2p+1)!}f^{(2p+1)}(t)\,dt.\end{array}}
Q 27. Montrer que, pour {p\geq q}, {C_p} est bien définie et indépendante de {p}.
On note cette valeur {\sum\limits_{k\geq1}^{\mathcal R}f(k)}.
Montrer que {\sum_{k\geq1}^{\mathcal R}f(k)=\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=1}^nf(k)-\int_0^nf(t)\,dt\right).}Qu’obtient-on si {\int_0^{+\infty}f(t)\,dt} converge ?
On munit {E=\mathcal C([0,1])} de la norme uniforme. Une forme linéaire {\varphi} est continue si et seulement s’il existe {C\geq0} tel que {|\varphi(g)|\leq C\|g\|_\infty} pour tout {g\in E}.
On fixe une telle forme avec {\varphi(1)=1}. On définit {P_0=1}, puis {P_n'=nP_{n-1}} et {\varphi(P_n)=0} pour {n\geq1}. On pose {S(x,t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{P_k(x)}{k!}t^k.}Dans cette partie, {f\in\mathcal C^\infty(\mathbb R)}.
I — Les formules de Taylor généralisées
Q 30. Montrer que la suite {(P_n)} existe et est unique.
Q 36. Justifier l’existence et l’unicité des {B_n} de B-I.
Montrer que la fonction égale à {te^{tx}/(e^t-1)} pour {t\ne0} et à {1} pour {t=0} admet, au voisinage de zéro, le développement {\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{B_k(x)}{k!}t^k.}
Q 37. Pour {x,y\in\mathbb R} et {p\in\mathbb N}, montrer que {\begin{array}{rl}f(x)={}&\displaystyle f(y)+\sum_{k=1}^p\left(\frac{P_k(x)}{k!}f^{(k)}(y)-\frac{P_k(y)}{k!}f^{(k)}(x)\right)\\[8pt]&\displaystyle+\int_y^x\frac{P_p(x+y-t)}{p!}f^{(p+1)}(t)\,dt.\end{array}}
Q 40. Pour {j\in\mathbb N}, montrer, à l’aide de {x\mapsto f(x+j)}, que {\begin{array}{rl}f(j)={}&\displaystyle\sum_{k=0}^p\frac{P_k(0)}{k!}\varphi\bigl(y\mapsto f^{(k)}(y+j)\bigr)\\[8pt]&\displaystyle-\varphi\left(y\mapsto\int_j^{y+j}\frac{P_p(y-t+j)}{p!}f^{(p+1)}(t)\,dt\right).\end{array}}
Q 43. Montrer que {\begin{array}{rl}f(j)={}&\displaystyle\frac12\sum_{k=0}^p\bigl(f^{(k)}(j)+f^{(k)}(j+1)\bigr)\frac{e_k}{k!}\\[8pt]&\displaystyle-\frac12\int_j^{j+1}\frac{(-1)^pE_p(t-j)}{p!}f^{(p+1)}(t)\,dt.\end{array}}
Q 44. On pose {\widetilde E_n(x)=(-1)^{\lfloor x\rfloor+n}E_n(x-\lfloor x\rfloor)}.
Montrer que, pour {n\geq1}, {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}f(j)={}&\displaystyle\frac12\sum_{k=0}^p\frac{f^{(k)}(1)e_k}{k!}\\[8pt]&\displaystyle+\frac{(-1)^{n-1}}2\sum_{k=0}^p\frac{f^{(k)}(n+1)e_k}{k!}\\[8pt]&\displaystyle+\frac12\int_1^{n+1}\frac{\widetilde E_p(t)}{p!}f^{(p+1)}(t)\,dt.\end{array}}