Sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal T,\mathbb P)}, on considère {X} suivant la loi de Poisson de paramètre {\lambda>0}. Sa fonction génératrice est {G_X(t)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb P(X=n)t^n}. On cherche à affiner la majoration donnée par Bienaymé-Tchebychev.
Q 1. Donner sans démonstration l’espérance et la variance de {X}.
On calcule les coefficients de Fourier d’une fonction particulière, puis on démontre que cette fonction est égale en tout point à la somme de sa série de Fourier.
Partie I — Calcul des coefficients de Fourier
Soit {f:\mathbb R\to\mathbb R} continue par morceaux sur {[-\pi,\pi]} et {2\pi}-périodique.
Pour {n\in\mathbb N}, on pose {\begin{array}{l}\displaystyle a_n(f)=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt,\\[8pt]\displaystyle b_n(f)=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt.\end{array}}
Q 10. Montrer que, si {f} est paire, {\int_{-\pi}^{\pi}f=2\int_0^\pi f}, et que, si {f} est impaire, {\int_{-\pi}^{\pi}f=0}.
Q 11. On impose {g(x)=(\pi-x)/2} pour {x\in]0,\pi]}.
Montrer qu’il existe un unique prolongement à {\mathbb R} qui soit continu par morceaux, impair et {2\pi}-périodique. Déterminer {g(0)} et tracer la courbe sur {[-4\pi,4\pi]}.
La série de Fourier est la série de fonctions de termes {U_0(f)=a_0(f)/2} et {U_n(f)(x)=a_n(f)\cos(nx)+b_n(f)\sin(nx)} pour {n\geq1}.
On admet la convergence simple sur {\mathbb R} de la série de Fourier de {g}. Sa somme est {S_g(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sin(nx)/n}. On veut montrer {S_g=g}.
Q 13. Déterminer les {(x,t)\in\mathbb R\times[0,1]} tels que {|1-te^{ix}|=0}.
Q 17. En déduire la convergence de {\sum\limits_{n\geq1}e^{inx}/n} pour {0\lt x\lt \pi} et l’identité {\int_0^1\frac{e^{ix}}{1-te^{ix}}\,dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{inx}}n.}
Pour {\lambda\in]-1,1[}, on pose {I(\lambda)=\int_0^1dt/(t^2-2\lambda t+1)}.
Q 18. Justifier l’existence de {I(\lambda)} et montrer que {I(\lambda)=\frac1{\sqrt{1-\lambda^2}}\left(\arctan\frac{1-\lambda}{\sqrt{1-\lambda^2}}+\arctan\frac{\lambda}{\sqrt{1-\lambda^2}}\right).}
On fixe {n\geq1}. Le produit scalaire canonique des colonnes est {\langle X,Y\rangle=X^\top Y}. On note {\mathcal S_n^+(\mathbb R)} et {\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} les matrices symétriques positives et définies positives.
Partie I — Inégalité arithmético-géométrique
Pour {\lambda_1,\ldots,\lambda_n\geq0}, on pose {A=n^{-1}\sum\limits_i\lambda_i} et {G=(\prod\limits_i\lambda_i)^{1/n}}. On veut montrer {G\leq A}, avec égalité exactement lorsque tous les {\lambda_i} sont égaux.
Le cas où ils sont tous nuls est immédiat. Dans cette partie, on suppose donc {A>0}.
Q 21. Montrer que {e^x\geq1+x} pour tout réel {x}, avec égalité si et seulement si {x=0}.
On veut établir, pour toute matrice {M=(m_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb R)}, {|\det M|\leq\left(\prod_{j=1}^n\sum_{i=1}^nm_{ij}^2\right)^{1/2}.\tag{3}}De Q25 à Q30, {S=(s_{ij})} appartient à {\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)}.
Q 25. Justifier que {S} est diagonalisable et rappeler les expressions de {\det S} et {\operatorname{Tr}S} à l’aide de ses valeurs propres.
On pose {D=\operatorname{diag}(\sqrt{s_{11}},\ldots,\sqrt{s_{nn}})}.
Q 29. Montrer que le coefficient {(i,j)} de {D^{-1}SD^{-1}} est {s_{ij}/\sqrt{s_{ii}s_{jj}}}. En déduire que cette matrice est symétrique définie positive et de diagonale égale à {1}.
Q 32. Soit {M} quelconque, de colonnes {C_1,\ldots,C_n}. Déduire l’inégalité (3), avec égalité si et seulement si les colonnes sont deux à deux orthogonales.
On note {\mathcal H_n} l’ensemble des matrices {M} à coefficients dans {\{-1,1\}} telles que {M^\top M=nI_n}, et {H=\{n\geq1:\mathcal H_n\ne\varnothing\}}.
Par exemple, {\begin{pmatrix}1&1\\[8pt]1&-1\end{pmatrix}\in\mathcal H_2}. On admet que, lorsque {\mathcal H_n} est non vide, elle contient une matrice dont la première ligne et la première colonne sont constituées de {1}.
On fixe {n\in H} et {M\in\mathcal H_n}.
Q 34. Montrer que {M} est inversible et déterminer {M^{-1}}. A-t-on {M^{-1}\in\mathcal H_n} ?
Q 35. Montrer que la matrice par blocs {\begin{pmatrix}M&M\\[8pt]M&-M\end{pmatrix}} appartient à {\mathcal H_{2n}}. En déduire {2^p\in H} pour tout {p\in\mathbb N}.
Q 37. On note {x,y,z,t} les nombres de lignes pour lesquelles le couple {(m_{i2},m_{i3})} vaut respectivement {(1,1)}, {(1,-1)}, {(-1,1)} et {(-1,-1)}.
Exprimer les produits scalaires entre {C_1,C_2,C_3}, puis donner un système de quatre équations en {x,y,z,t}.