2025-Mines-Psi2-Corrigé

Mines-Ponts — PSI — 2025 — Mathématiques II

Modèle SIR pour la propagation d’épidémie et séries de Dirichlet

Pour un intervalle {J}, on utilise les espaces {\mathcal C^k(J,\mathbb R)} et {\mathcal C^\infty(J,\mathbb R)}. Pour une fonction bornée, {\|f\|_{\infty,J}=\sup_{x\in J}|f(x)|}.

On étudie l’équation {y'(x)+y(x)+1=\frac12e^{y(x)}.\tag{E}}On admet que le problème de Cauchy {(C)} formé de cette équation et de {y(0)=0} possède une unique solution {y\in\mathcal C^\infty(\mathbb R_+,\mathbb R)}.

Partie I — Linéarisation de {(E)}

Au voisinage de zéro, on approche {e^{y(x)}} par {1+y(x)}. On considère donc {u'(x)+u(x)+1=\frac12(1+u(x)).\quad(E_\ell)}Le problème {(C_\ell)} associe à cette équation la condition {u(0)=0}.

1. Justifier l’existence et l’unicité de la solution de {(C_\ell)}, donner son expression et dresser son tableau de variation.
2. Montrer que {(E_\ell)} possède une unique solution constante {\gamma} et vérifier que {u(x)\to\gamma} à l’infini.

On admet désormais que {y} est décroissante sur {\mathbb R_+} et qu’elle admet une limite finie {c} à l’infini.

3. Montrer que {c} est une solution constante de {(E)}, puis que {(E)} possède exactement deux solutions constantes {c_1\lt 0\lt c_2}. En déduire {c}.

Partie II — Séries de Dirichlet

Dans ce sujet, une série de Dirichlet est une série de fonctions {f_n(x)=a_ne^{-\lambda_nx}} sur {\mathbb R_+}, telle qu’il existe {M>0} avec {|a_n|\leq M/2^n}, et où {(\lambda_n)} est strictement croissante, {\lambda_0=0}, {\lambda_n\to+\infty} et {\lambda_n=O(n)}.

Pour {k\in\mathbb N}, on pose {b_k=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\lambda_n^ka_n}.

4. Montrer que tous les {b_k} sont bien définis.
5. Montrer que toute série de Dirichlet converge uniformément sur {\mathbb R_+}. Justifier que sa somme {f} est continue.
6. Exprimer {f(0)} et {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)} à l’aide de {a_0,b_0}.
7. Pour {k\geq1}, montrer que {f\in\mathcal C^k(\mathbb R_+,\mathbb R)}, exprimer {f^{(k)}(x)} puis {f^{(k)}(0)}.
8. Montrer que, si {f} est identiquement nulle sur {\mathbb R_+}, alors tous les {a_n} sont nuls.

Partie III — Relations sur les coefficients

On suppose désormais que la solution de {(C)} s’écrit {y(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_ne^{-\lambda_nx}}, avec les hypothèses de la partie II. On pose {g(x)=e^{y(x)}}.

9. Exprimer {a_0,b_0} en fonction de {c}.
10. À l’aide de {(E)}, calculer {b_1}.
11. Montrer que {g^{(k)}(0)=(-1)^kd_k} pour {k\geq1}, où {d_0=1,\quad d_k=\sum_{i=1}^k\binom{k-1}{i-1}d_{k-i}b_i.}
12. Pour {k\geq1}, donner une relation entre {b_{k+1},b_k,d_k}.

Partie IV — Approximation de la solution {y}

Pour {N\geq1}, on pose {\beta_k=\sum\limits_{n=1}^N\lambda_n^ka_n} et {y_N(x)=\sum\limits_{n=0}^Na_ne^{-\lambda_nx}}. On cherche les coefficients {a_1,\ldots,a_N} à partir des exposants et des moments tronqués.

On note {A=(a_1,\ldots,a_N)^\top} et {B=(\beta_0,\ldots,\beta_{N-1})^\top}.

13. Montrer que {\|y_N-y\|_{\infty,\mathbb R_+}\leq M/2^N}, en déduire la convergence uniforme et proposer un intervalle où la majoration est plus fine.
14. Montrer que {VA=B} et expliciter {V\in\mathcal M_N(\mathbb R)}.
15. Prouver que {VA=B} admet une unique solution {A\in\mathbb R^N}.

Partie V — Modèle de propagation d’épidémie SIR

La population est divisée entre susceptibles {S}, infectés {I} et rétablis {R}. Les fonctions représentent des proportions et vérifient {S+I+R=1}. Une personne rétablie reste immunisée.

Le modèle est le système {\begin{cases}S'=-IS,\\[8pt]I'=IS-I,\\[8pt]R'=I,\\[8pt](S(0),I(0),R(0))=(S_0,I_0,R_0).\end{cases}\tag{F}}Les données initiales sont dans {[0,1]} et de somme {1}. On admet l’existence et l’unicité d’une solution de classe {\mathcal C^\infty} sur {\mathbb R_+}, ainsi que le fait que deux solutions de données initiales différentes ne se rencontrent jamais au même instant.

16. Si {S_0=0}, donner le triplet solution de {(F)}.
17. Si {S_0>0}, montrer que {S} ne s’annule jamais, puis qu’elle est strictement positive.
18. Si {S_0>0}, montrer que {(-S'/S)'=-S'+S'/S}.

On suppose désormais {S_0=I_0=1/2}, {R_0=0}, et on pose {h(x)=\ln(S(x)/S_0)=\ln(2S(x))}.

19. Montrer que {h} est solution du problème de Cauchy {(C)}.

On approche {S} par {S_N(x)=\frac12e^{y_N(x)}}.

20. Montrer que {S_N\to S} uniformément sur {\mathbb R_+} et que {\|S_N-S\|_{\infty,\mathbb R_+}\leq\frac{Me^{2M}}{2^{N+1}}.}

Partie VI — Modèle probabiliste

Toutes les variables sont définies sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}. Pour une suite {(U_n)}, on pose {\Delta U_n=U_{n+1}-U_n}. On convient que {\binom ab=0} si {b>a}.

Dans cette partie, {M\geq1} désigne l’effectif total et {K\in\{0,\ldots,M\}}. On pose {E=\{(s,i,r)\in\mathbb N^3:s+i+r=M\}}. Les effectifs au matin du jour {n} sont {\widetilde S_n,\widetilde I_n,\widetilde R_n}, avec {\widetilde S_0>0} et {\widetilde I_0\geq1}.

Conditionnellement à l’état {(s,i,r)}, chacune des {s} personnes susceptibles rencontre un groupe de {K} personnes choisi uniformément parmi les {M} individus, indépendamment des choix des autres susceptibles. Elle devient infectée le lendemain si ce groupe contient au moins une personne infectée.

Chaque personne déjà infectée guérit à la fin de la journée avec une probabilité {\rho\in]0,1[}. On notera {A_{s,i,r}} l’événement {\{(\widetilde S_n,\widetilde I_n,\widetilde R_n)=(s,i,r)\}}.

21. Conditionnellement à {A_{s,i,r}}, quelle est la probabilité {p(i)} qu’une personne susceptible soit infectée dans la journée ?
22. Si {Z} prend ses valeurs dans {\{0,\ldots,M\}}, montrer que {\mathbb E(Z)=\sum_{(s,i,r)\in E}\left(\sum_{k=0}^Mk\mathbb P(Z=k\mid A_{s,i,r})\right)\mathbb P(A_{s,i,r}).\tag{1}}
23. Justifier que les trois effectifs et leurs trois accroissements ont une espérance finie.
24. Établir {\mathbb E(\Delta\widetilde R_n)=\rho\mathbb E(\widetilde I_n)}.
25. Pour {0\leq k\leq s}, établir {\mathbb P(\Delta\widetilde S_n=-k\mid A_{s,i,r})=\binom skp(i)^k(1-p(i))^{s-k}.}
26. Montrer que {\mathbb E(\Delta\widetilde S_n)=-\mathbb E(\widetilde S_n p(\widetilde I_n))}, puis donner l’équation satisfaite par {\mathbb E(\Delta\widetilde I_n)}.