2026-Mines-Mp2-Corrigé

Mines-Ponts 2026 — MP — Mathématiques II

Autour de {\mathrm O_n(\mathbb R)} et {\mathrm{SL}_n(\mathbb R)}

On fixe {n\geq2}. On note {\mathrm O_n(\mathbb R)=\{M:M^{\mathsf T}M=I_n\}}, {\mathrm{SL}_n(\mathbb R)=\{M:\det M=1\}} et {\mathrm{SO}_n(\mathbb R)=\mathrm O_n(\mathbb R)\cap\mathrm{SL}_n(\mathbb R)}. L’espace {E=\mathbb R^n} est muni de sa norme euclidienne usuelle. La notation {\operatorname{Sp}_{\mathbb C}(M)} désigne le spectre complexe.

I — Quelques propriétés de {\mathrm O_n(\mathbb R)}

1. Pour {\theta\in\mathbb R}, on pose {R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\[8pt]\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.}Examiner sa diagonalisabilité sur {\mathbb R}, puis sur {\mathbb C}.
2. Prouver, sans simple référence au cours, que {\mathrm{SO}_2(\mathbb R)=\{R_\theta:\theta\in\mathbb R\}}.
3. Montrer que {\mathrm O_n(\mathbb R)} est compact et non connexe par arcs.
4. Prouver que {\mathrm{SO}_n(\mathbb R)} est connexe par arcs.

On pourra commencer par {n=2}.

5. Si {H} est un sous-groupe de {\mathrm O_n(\mathbb R)} contenant {\mathrm{SO}_n(\mathbb R)}, prouver que {H=\mathrm{SO}_n(\mathbb R)} ou {H=\mathrm O_n(\mathbb R)}.
6. Soit {p\in]0,1[} et {(Y_{i,j})} une famille indépendante de variables de loi de Bernoulli de paramètre {p}.

On pose {Z_n=(Y_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}. Calculer les probabilités que {Z_2} soit inversible, que {Z_n\in\mathrm O_n} et que {Z_n\in\mathrm{SO}_n}.

7. Pour {x,y\in E} tels que {\|x\|=\|y\|}, montrer qu’il existe une matrice de réflexion {A} telle que {Ax=y}.

Soit {\mathcal G} un sous-groupe compact de {\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} contenant {\mathrm O_n(\mathbb R)}.

8. Pour {G\in\mathcal G} et {\|x\|=1}, montrer que, pour tout {p\in\mathbb Z}, il existe {G_p\in\mathcal G} tel que {G_px=\|Gx\|^p x}.
9. Conclure que {\mathcal G=\mathrm O_n(\mathbb R)}.

II — Calcul différentiel sur {\mathrm O_n(\mathbb R)} et {\mathrm{SL}_n(\mathbb R)}

10. Pour {f(M)=M^{\mathsf T}M}, prouver que {f} est de classe {\mathcal C^1} et exprimer {df(M)}.

On note {\mathcal T} l’ensemble des matrices {H} pour lesquelles il existe une courbe {\gamma:]-\varepsilon,\varepsilon[\to\mathrm O_n}, dérivable en {0}, telle que {\gamma(0)=I_n} et {\gamma'(0)=H}.

11. Montrer que {\mathcal T} est inclus dans l’ensemble des matrices antisymétriques.
12. Prouver que {\mathcal T} est stable par somme, puis que c’est un espace vectoriel.
13. Déterminer {\mathcal T}.

On pose {g(M)=\operatorname{tr}(M^{\mathsf T}M)}, carré de la norme euclidienne usuelle sur les matrices.

14. Prouver que la restriction de {g} à {\mathrm{SL}_n(\mathbb R)} ne possède pas de maximum global.
15. Prouver que {g} et {\det} sont de classe {\mathcal C^1}, puis déterminer leurs gradients. Justifier en particulier {\nabla\det(M)=\operatorname{Com}(M)}.
16. Si {g} restreinte à {\mathrm{SL}_n} admet un extremum local en {M}, montrer qu’il existe {\lambda\in\mathbb R} tel que {M=\lambda\operatorname{Com}(M)}, puis que {M\in\mathrm{SO}_n}.
17. Prouver que {g} restreinte à {\mathrm{SL}_n} possède un minimum global, calculer ce minimum et déterminer les points où il est atteint.

III — Morphismes continus de {\mathbb U} dans {\mathrm{GL}_n(\mathbb R)}

On note {\mathbb U=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}}. Soit {\varphi:\mathbb U\to\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} un morphisme de groupes continu.

18. Déterminer les sous-groupes bornés de {(\mathbb R^*,\times)}. En déduire {\varphi(\mathbb U)\subset\mathrm{SL}_n(\mathbb R)}.
19. Pour {z\in\mathbb U}, prouver que {\operatorname{Sp}_{\mathbb C}(\varphi(z))\subset\mathbb U}.
20. En posant {\Psi(x)=\varphi(e^{ix})}, prouver que {\Psi(x+y)=\Psi(x)\Psi(y)} pour tous réels {x,y}.
21. On pose {F(x)=\int_0^x\Psi(t)\,dt}.

Prouver que {F} est de classe {\mathcal C^1} et qu’il existe {\alpha>0} tel que {F(x)} soit inversible pour {0\lt |x|\leq\alpha}.

22. Prouver que {\Psi(x)=\left(\int_x^{x+\alpha}\Psi(t)\,dt\right)F(\alpha)^{-1},}puis en déduire que {\Psi} est de classe {\mathcal C^1}.
23. En posant {M=\Psi'(0)}, montrer que {\Psi(x)=\exp(xM)} pour tout {x\in\mathbb R}.

IV — Morphismes de {(\mathbb R,+)} dans {(\mathrm{GL}_n(\mathbb R),\times)}

On reprend les notations et les hypothèses de la partie précédente, en particulier la périodicité de {\Psi(x)=\varphi(e^{ix})}.

24. Si deux matrices réelles {A,B} sont semblables sur {\mathbb C}, prouver qu’elles sont semblables sur {\mathbb R}.
25. Pour une matrice nilpotente non nulle {N\in\mathcal M_n(\mathbb C)}, montrer que {\ker N\ne\ker N^2}.
26. Calculer {\exp(2\pi M)} et en déduire que {\operatorname{Sp}_{\mathbb C}(M)\subset\{ik:k\in\mathbb Z\}}.
27. Justifier que {M} est semblable sur {\mathbb C} à {D+N}, avec {D} diagonale, {N} nilpotente, {DN=ND} et {\operatorname{Sp}_{\mathbb C}(D)=\operatorname{Sp}_{\mathbb C}(M)}.
28. Calculer {\exp(2\pi D)} et {\exp(2\pi N)}, puis montrer que {N=0}.
29. Prouver qu’il existe {Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)}, {p\in\mathbb N} et {k_1,\ldots,k_p\in\mathbb Z\setminus\{0\}} tels que {\Psi(x)=Q\operatorname{diag}(R_{k_1x},\ldots,R_{k_px},I_{n-2p})Q^{-1}}pour tout réel {x}.
30. Réciproquement, prouver que la formule précédente définit un morphisme de groupes de {(\mathbb R,+)} dans {(\mathrm{GL}_n(\mathbb R),\times)}.