On fixe {n\geq1}. Les matrices sont réelles ; {I_n} est l’identité, {\ker A} et {\operatorname{Im}A} sont le noyau et l’image de l’application matricielle. On note {{}^{\mathsf T}A} la transposée et on identifie une matrice de taille {1} à son coefficient.
Les espaces de vecteurs lignes ou colonnes sont munis du produit scalaire canonique et de la norme euclidienne {\|\cdot\|}.
Pour {x=(x_1,\ldots,x_n)}, on note {X=x^{\mathsf T}} le vecteur colonne associé. Le gradient {\nabla f(x)} est considéré comme un vecteur ligne.
On pose {S(f)=\{x\in\mathbb R^n:\nabla f(x)=0\}.}L’ensemble {\mathcal E} est constitué des fonctions caractérisées par un couple {(M,B)}, où {M} est symétrique et {B} un vecteur colonne, selon {f(x)=\frac12X^{\mathsf T}MX-B^{\mathsf T}X.\tag{F}}On note {\mathcal E_0} celles de ces fonctions qui sont minorées et on définit {Tf(x)=\frac12\|\nabla f(x)\|^2-\frac12\|\nabla f(0)\|^2.}L’objectif est de démontrer dans certains cas le théorème suivant : si deux fonctions convexes minorées de classe {\mathcal C^2} ont des gradients de même norme en tout point, leur différence est constante.
Partie I — Convexité et fonctions minorées
Une fonction est convexe si, pour tous {x,y\in\mathbb R^n} et {0\leq\lambda\leq1}, {f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y).}Pour la question 1, {f} est convexe et de classe {\mathcal C^1}.
Pour la question 2, {f} est seulement supposée minorée et de classe {\mathcal C^1}. Pour {\varepsilon>0}, on pose {f_\varepsilon(x)=f(x)+\varepsilon\sqrt{\|x\|^2+1}}.
2. (a) Montrer que {f_\varepsilon} atteint un minimum global en un point {x_\varepsilon}. On pourra considérer {\{x:f_\varepsilon(x)\leq f_\varepsilon(0)\}}.
Pour la question 3, {f_1,f_2:\mathbb R\to\mathbb R} sont de classe {\mathcal C^1}, convexes, minorées, et vérifient {(f_1')^2-(f_2')^2=c}, où {c} est constant.
Pour la question 4, {g:\mathbb R\to\mathbb R} est de classe {\mathcal C^2}, minorée, et {R=(g')^2} est supposée convexe. On veut établir la convexité de {g}.
5. Soient {g_1,g_2} de classe {\mathcal C^2}, minorées, telles que {(g_1')^2} soit convexe et {(g_1')^2-(g_2')^2} constante. Montrer que {g_1-g_2} est constante.
6. (e) Montrer l’équivalence entre : (i) {f\in\mathcal E_0} ; (ii) {B\in(\ker M)^\perp} et {X^{\mathsf T}MX\geq0} pour tout {X} ; (iii) {f} convexe et {S(f)\neq\varnothing}.
Les fonctions {f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R} sont de classe {\mathcal C^1}, convexes et minorées. La différence {\|\nabla f\|^2-\|\nabla g\|^2} est constante, {f+g\in\mathcal E} et {S(f)\neq\varnothing}.
On pose {h=f+g}, {\psi=f-g}, et on note {(M,B)} le couple caractérisant {h}. On écrit {\inf h=\inf_{x\in\mathbb R^n}h(x)}.
Pour la question 14, {y=(y_1,\ldots,y_n):[0,+\infty[\to\mathbb R^n} est de classe {\mathcal C^1} et {\int_0^{+\infty}\|y'(t)\|^2\,dt} converge.
14. (a) Posons {z(t)=(y(t)-y(0))/t} pour {t>0} et {z(0)=y'(0)}. Montrer que {z} est continue et que {\int_0^A\|z(t)\|^2\,dt\leq2\int_0^A\langle z(t),y'(t)\rangle\,dt}pour {A\geq0}.
15. (b) Justifier l’existence de {U\in\operatorname{Im}M}, {Y_0\in\ker M}, {Y_1\in\operatorname{Im}M} tels que {MU=B} et {Y(0)=Y_0+Y_1}. Pour {Z(t)=Y(t)-U-Y_0}, montrer {Z'=-MZ} puis {Z(t)\in\operatorname{Im}M}.
15. (f) Montrer la convergence des deux intégrales et les relations {\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^{+\infty}\|y'(t)\|^2\,dt=h(y(0))-\inf h,\\[8pt]\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\|y(t)\|^2}{1+t^2}\,dt\\[8pt]\quad\leq8(h(y(0))-\inf h)+\pi\|y(0)\|^2.\end{array}}