Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb K} ({\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}). Soit {f} un endomorphisme de {E}.
On pose {f^0=\operatorname{Id}_E}, et pour tout entier {k\geq1}, {f^k=f\circ f^{k-1}}.
1. Montrer que {(\operatorname{Im}f^k)_{k\geq0}} et {(\operatorname{Ker}f^k)_{k\geq0}} forment respectivement une suite décroissante et une suite croissante de sous-espaces vectoriels de {E} stables par {f}.
2. Montrer que si {\operatorname{Ker}f^k=\operatorname{Ker}f^{k+1}}, alors {\forall m\geq k:\ \operatorname{Ker}f^m=\operatorname{Ker}f^k}.
3. Montrer que si {\operatorname{Im}f^k=\operatorname{Im}f^{k+1}}, alors {\forall m\geq k:\ \operatorname{Im}f^m=\operatorname{Im}f^k}.
4. Montrer successivement :
4. (a) {\operatorname{Im}f=\operatorname{Im}f^2\Longleftrightarrow E=\operatorname{Im}f+\operatorname{Ker}f}.
4. (b) {\operatorname{Ker}f=\operatorname{Ker}f^2\Longleftrightarrow\operatorname{Im}f\cap\operatorname{Ker}f=\{\vec0\}}.
4. (c) {E=\operatorname{Im}f\oplus\operatorname{Ker}f\Longleftrightarrow\operatorname{Im}f=\operatorname{Im}f^2} et {\operatorname{Ker}f=\operatorname{Ker}f^2}.
5. Soit {s} (en supposant qu’il existe) le plus petit {k} tel que {\operatorname{Ker}f^k=\operatorname{Ker}f^{k+1}}.
Soit {r} (en supposant qu’il existe) le plus petit {k} tel que {\operatorname{Im}f^k=\operatorname{Im}f^{k+1}}.
On veut montrer que {r=s}.
5. (a) Montrer que si {s\leq r}, alors {\operatorname{Im}f^s=\operatorname{Im}f^r}, puis {s=r}.
5. (b) Prouver que si {r\leq s}, alors {\operatorname{Ker}f^s=\operatorname{Ker}f^r}, puis {s=r}.
5. (c) Conclure à l’égalité {r=s}.
5. (d) Montrer que {E=\operatorname{Im}f^r\oplus\operatorname{Ker}f^r}.
5. (e) Établir que la restriction de {f} à {\operatorname{Ker}f^r} est nilpotente.
5. (f) Montrer que la restriction de {f} à {\operatorname{Im}f^r} est un automorphisme de {\operatorname{Im}f^r}.
6. On suppose que {E} est de dimension finie {n}.
6. (a) Montrer que les entiers {r} et {s} existent, et que {r=s\leq n}.
6. (b) Montrer que {E=\operatorname{Im}f\oplus\operatorname{Ker}f\Longleftrightarrow\operatorname{Im}f=\operatorname{Im}f^2\Longleftrightarrow\operatorname{Ker}f=\operatorname{Ker}f^2}.
7. Donner un exemple des situations suivantes :
7. (a) L’entier {r} existe, mais pas l’entier {s}.
7. (b) L’entier {s} existe, mais pas l’entier {r}.
7. (c) Aucun des entiers {r} et {s} n’existe.