On se place dans le plan euclidien orienté {\mathbb R^2}. Pour tout {m\in\mathbb R}, soit {C_m} l’arc {t\mapsto M_m(t)} défini par
{\begin{array}{l}x_m(t)=\cos^3t+m\sin t\\[4pt]y_m(t)=\sin^3t+m\cos t\end{array}}
1. (a) Procéder à une réduction du domaine d’étude pour {C_m}. Montrer notamment que {C_m} admet un centre et deux axes de symétrie.
1. (b) Montrer que {C_{-m}} est symétrique de {C_m} par rapport à l’axe {Ox}.
2. (a) Montrer que {C_m} admet des points stationnaires si et seulement si {|m|\leqslant3/2}. Montrer que si {|m|\lt3/2} ce sont des points de rebroussement. Et si {|m|=3/2} ? Vérifier que {e_1(t)=(\cos t,-\sin t)} dirige toujours la tangente en {M_m(t)} à {C_m}.
2. (b) On note {\Gamma} l’ensemble des points stationnaires des arcs {C_m}. Montrer qu’un paramétrage de {\Gamma} est
{\begin{array}{l}x(t)=3\cos t-2\cos^3t\\[4pt]y(t)=3\sin t-2\sin^3t\end{array}\quad(t\in\mathbb R)}
{\begin{array}{l}x(t)=3\cos t-2\cos^3t\\[4pt]y(t)=3\sin t-2\sin^3t\end{array}\quad(t\in\mathbb R)}
2. (c) Étudier et tracer l’arc {\Gamma}. Vérifier que la tangente en {M(t)} à {\Gamma} est toujours dirigée par {e_2(t)=(\sin t,\cos t)}.
2. (d) Soit {R} le repère déduit du repère canonique par la rotation de centre {O} et d’angle {\pi/4}. Montrer qu’un paramétrage de {\Gamma} dans {R} est {X(u)=2\cos^3u}, {Y(u)=2\sin^3u}. Commenter.
2. (e) On suppose {|m|\leqslant3/2}. Soit {A} un point stationnaire de {C_m}, qui appartient donc à {\Gamma}. Montrer qu’au point {A} les tangentes aux courbes {C_m} et {\Gamma} sont orthogonales.
3. (a) Pour quelles valeurs de {m} l’arc {C_m} passe-t-il par l’origine ?
3. (b) Étudier et tracer la courbe {C_{1/2}}.
4. (a) Écrire l’équation de la tangente {D_m(t)} au point {M_m(t)} de {C_m}.
4. (b) Soit {H_m(t)} la projection orthogonale de {O} sur {D_m(t)}. On note {P_m} la trajectoire de {H_m(t)}. Montrer que {P_m} admet le paramétrage polaire {\rho=m+\frac12\sin2\theta}.
4. (c) Étudier et tracer la courbe {P_{1/2}}.
5. Étudier et tracer les courbes {C_0}, {C_{3/4}} et {C_{3/2}}.
6. (a) Soit {D(\theta)} la droite passant par {O} et d’angle polaire {\theta}. Cette droite rencontre en général {D_m(\theta)} en un unique point {N_m(\theta)}. Trouver un paramétrage polaire de sa trajectoire.
6. (b) Étudier et construire cette trajectoire quand {m=1/2}.
7. (a) On fixe le réel {t}. Montrer que la tangente {\Delta(t)} au point {M(t)} de {\Gamma} est aussi la normale en {M_m(t)} de {C_m}, pour tout {m\in\mathbb R}.
7. (b) On oriente {\Delta(t)} par {e_2(t)}. Pour tous réels {m,n}, préciser la mesure algébrique de {M_m(t)M_n(t)} sur {\Delta(t)}. Qu’en déduit-on concernant {C_m} et {C_n} ?
Dans la question 8, on suppose {m\gt3/2}. La courbe {C_m} n’a pas de point stationnaire. On l’oriente suivant les paramètres croissants et on la munit d’une abscisse curviligne d’origine quelconque.
8. (a) Calculer la longueur totale de l’arc {C_m}.
8. (b) Préciser le repère de Frenet {(T(t),N(t))} au point {M_m(t)}.
8. (c) Calculer le rayon de courbure {R_m(t)}.
8. (d) Préciser les coordonnées du centre de courbure {\Omega_m(t)}. Quelle est sa trajectoire quand {M_m(t)} parcourt {C_m} ?
9. Reprendre la question précédente pour {0\leqslant m\leqslant3/2}. On pourra poser {m=\frac32\sin2t_0}, avec {0\leqslant t_0\leqslant\pi/4}. Pour le calcul de {T,N,R,\Omega}, on se place sur un sous-arc sans point stationnaire, orienté suivant les paramètres croissants. En un point stationnaire, on convient que {R=0} et {\Omega=M}.