Podaires d’une parabole

Dans le plan euclidien orienté canonique, on considère la parabole {\mathcal P:y^2=2x}, de foyer {F=(1/2,0)}, paramétrée par {M(t)=(t^2/2,t)}, {t\in\mathbb R}.

Première partie

On oriente {\mathcal P} dans le sens des {t} croissants et l’on prend {O} pour origine des abscisses curvilignes.

1. Calculer l’abscisse curviligne {s} de {M(t)} et préciser la base de Frenet en {M(s)}.

2. Calculer le rayon de courbure {R}. Montrer que le centre de courbure est {\Omega(t)=(1+3t^2/2,-t^3)}.

3. La développée {\mathcal Q} est le lieu de {\Omega(t)}. Montrer que son équation est {y^2=8(x-1)^3/27}, que toute normale à {\mathcal P} est tangente à {\mathcal Q}, puis représenter les deux courbes.

Deuxième partie

On fixe {A=(a,b)}. L’extérieur de {\mathcal P} est {y^2\ge2x}, son extérieur strict est {y^2\gt2x} ; l’intérieur et l’intérieur strict correspondent aux inégalités opposées.

1. Écrire l’équation de la tangente {D(t)} en {M(t)}.

2. Soit {H(t)} la projection orthogonale de {A} sur {D(t)}. Montrer que {X(t)=\frac{(2a-1)t^2+2bt}{2(t^2+1)},\quad Y(t)=\frac{t^3+2at+2b}{2(t^2+1)}}Son lieu {\Gamma_A}, ou {\Gamma_{(a,b)}}, est la podaire de {\mathcal P} relativement à {A}.

3. Montrer que {\Gamma_A} est incluse dans l’extérieur de {\mathcal P}.

4. Montrer que {\Gamma_{(a,b)}} et {\Gamma_{(a,-b)}} se déduisent par une symétrie. Que dire des courbes {\Gamma_{(a,0)}} ?

5. Décrire et illustrer {\Gamma_A} quand {A=F=(1/2,0)}.

Troisième partie

On étudie localement les podaires ; on privilégie les arguments géométriques.

1. Préciser le placement de {\Gamma_A} par rapport à sa branche infinie et illustrer les cas, en se limitant éventuellement à {b\ge0}, {A\ne F}.

2. (a) Montrer que {A\in\Gamma_A} si et seulement si {A} est extérieur à {\mathcal P}.

2. (b) Montrer que tout point double {B} de {\Gamma_A} est nécessairement {A}.

2. (c) Réciproquement, montrer que {A} est double si et seulement s’il est strictement extérieur à {\mathcal P}.

3. (a) Si {A} est strictement extérieur, montrer que les tangentes à {\Gamma_A} au point double sont orthogonales aux tangentes à {\mathcal P} issues de {A}.

3. (b) Si {A\in\mathcal P}, montrer que la tangente en {A} à {\Gamma_A} est la normale en {A} à {\mathcal P}.

On paramètre désormais {\mathcal P} par son abscisse curviligne {s}. Ce paramètre définit aussi {H(s)}, sans être l’abscisse curviligne de la podaire. On conserve {R,T,N} pour la parabole et l’on pose {U=\overrightarrow{MA}}.

4. (a) Justifier {H=M+\lambda T}, avec {\lambda=\langle U,T\rangle}.

4. (b) Montrer que {H'=\frac1R\left(\langle U,N\rangle T+\langle U,T\rangle N\right)}les dérivées étant prises par rapport à {s}.

4. (c) Si {A\notin\mathcal P}, prouver que {\Gamma_A} est sans point stationnaire.

4. (d) Si {A\in\mathcal P}, prouver que {A} est le seul point stationnaire de {\Gamma_A}.

5. (a) Pour {m\in\mathbb R}, soit {\Delta_m} la droite passant par {A} de pente {m}. Montrer qu’elle est normale à {\mathcal P} si et seulement si {m^3+2(1-a)m+2b=0}.

5. (b) Discuter le nombre {n_A} de normales passant par {A}. Montrer notamment que {n_A=3} équivaut à {a\gt1} et {|b|\lt(2(a-1)/3)^{3/2}}. Représenter le cas {A=(15/2,6)}.

5. (c) Soit {M(t_0)\ne A} le pied d’une normale issue de {A}. Montrer que {M(t_0)\in\Gamma_A} et préciser la tangente. Illustrer deux cas avec trois normales, {A} intérieur puis extérieur.

Quatrième partie

On étudie les points d’inflexion. Pour alléger les expressions, posons {u=\langle U,T\rangle} et {v=\langle U,N\rangle}.

1. En dérivant III.4.(b), prouver {R'H'+RH''=\frac2R(vN-uT)-N}

2. En déduire, par un calcul dans {(T,N)}, {R^3\det(H',H'')=2\|\overrightarrow{AM}\|^2+\langle\overrightarrow{AM},RN\rangle}

3. On pose {P_A(t)=bt^3+\frac32(1-2a)t^2-3bt+2a^2+2b^2-a}Montrer que {H(t_0)} est une inflexion si {P_A} s’annule en changeant de signe en {t_0}.

4. Pour {b=0}, discuter suivant {a} le nombre d’inflexions.

On suppose maintenant {b\ne0}.

5. (a) Vérifier que {P_A'} s’annule en deux points distincts {t_1,t_2}.

5. (b) Effectuer la division euclidienne de {P_A} par {P_A'}.

5. (c) En déduire {P_A(t_1)P_A(t_2)=4AF^4(1-2a/b^2)}.

5. (d) Discuter le nombre d’inflexions suivant la position de {A} par rapport à {\mathcal P}.

6. (a) Pour trois paramètres distincts, on note {\sigma_1=t_1+t_2+t_3}, {\sigma_2=t_1t_2+t_1t_3+t_2t_3}, {\sigma_3=t_1t_2t_3}. Montrer que les trois points {H(t_i)} sont alignés si et seulement si {2b(\sigma_1-\sigma_3)+(2a-1)\sigma_2=4a^2+4b^2-2a}

6. (b) On admet qu’une tangente d’inflexion correspond à une racine triple de l’équation d’intersection. Retrouver la condition d’inflexion.

Cinquième partie

Pour chaque courbe, on précise l’asymptote, les points doubles, stationnaires et d’inflexion. Les dérivées utiles pour les variations sont {X'=\frac{b+(2a-1)t-bt^2}{(1+t^2)^2}}et {Y'=\frac{t^4+(3-2a)t^2-4bt+2a}{2(1+t^2)^2}}Les tracés ci-dessous complètent cette partie, absente du corrigé fourni.

1. Étudier et tracer la courbe pour {A=(-5/2,0)}.

2. Étudier et tracer la courbe pour {A=(0,0)}.

3. Étudier et tracer la courbe pour {A=(8,0)}.

4. Étudier et tracer la courbe pour {A=(8,2)}.

5. Étudier et tracer la courbe pour {A=(8,4)}.

6. Étudier et tracer la courbe pour {A=(8,6)}.