Les questions [P] utilisent Python. Pour {k\gt h\ge0}, une {(k,h)}-suite contient {k} symboles F et {h} symboles P, avec, dans chaque préfixe non vide, strictement plus de F que de P. Par exemple FFPFFPFP est une {(5,3)}-suite. On note {c_{k,h}} leur nombre.
1. (a) Calculer {c_{4,2}}.
1. (b) Montrer que, pour {k\gt h+1} et {h\ge1}, {c_{k,h}=c_{k,h-1}+c_{k-1,h}}.
1. (c) Montrer que {c_{k,k-1}=c_{k,k-2}} pour {k\ge2}.
1. (d) En posant {c_{k,k}=0} pour {k\ge1}, vérifier que {c_{k,h}=c_{k,h-1}+c_{k-1,h}} pour {k\gt h\ge1}.
1. (e) Dresser le tableau des {c_{k,h}} pour {0\le h\lt k\le7}.
1. (f) [P] Construire une matrice de taille {n\times(n+1)} contenant les {c_{k,h}}. Avec des indices commençant à {1}, poser {m_{k,h}=c_{k,h-1}} pour {1\le h\le k\le n}, et {0} sinon. Écrire
Tab(n) et comparer avec le tableau précédent.1. (g) Montrer, par récurrence sur {k+h}, que
{c_{k,h}=\frac{(k-h)(k+h-1)!}{k!h!}\quad(0\le h\lt k)}
{c_{k,h}=\frac{(k-h)(k+h-1)!}{k!h!}\quad(0\le h\lt k)}
On lance indépendamment une pièce donnant Face avec probabilité {p}, Pile avec probabilité {1-p}, où {0\lt p\le1/2}. On s’arrête dès qu’on a autant de Face que de Pile. On note {X} le nombre de lancers, et {X=0} si cet événement ne se produit jamais.
2. (a) Calculer {\mathbb P(X=2n)} à l’aide de {c_{n,n-1}} et en déduire la loi de {X}.
2. (b) [P] Écrire
simul(p) simulant la loi de {X} et donnant les fréquences de {X=2k}, en limitant les essais à maxtry lancers. On pourra réaliser un million d’expériences.2. (c) Avec {u_n=\mathbb P(X=2n)}, donner une relation entre {u_n} et {u_{n-1}} pour {n\ge2}, ainsi que {u_1}. [P] Écrire
theo(p) calculant les probabilités jusqu’à maxtry, et comparer pour {p=0,3} et {p=0,5}.2. (d) Posons {c_n=c_{n,n-1}}, {f(x)=\sum\limits_{n\ge1}c_nx^n} et {g=f'}. Déterminer leur rayon de convergence commun {R}.
2. (e) Calculer {g(x)} puis {f(x)} pour {|x|\lt R}.
Dans la question 3, on suppose {0\lt p\lt1/2}.
3. (a) Calculer {\mathbb P(X\gt0)}.
3. (b) Montrer que l’espérance et la variance existent, puis les calculer.
4. Reprendre les questions précédentes lorsque {p=1/2}.