Un calcul d’extrema lié

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {n} dans \mathbb{N}^{*} et {\lambda} dans \mathbb{R}^{+*}. On note : {A_{\lambda}\!=\!\Big\{\!(x_{1},\ldots,x_{n})\!\in\!(\mathbb{R}^{+*})^{n},\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\!=\!n\lambda\Big\}}On pose : {f(x_{1},\ldots,x_{n})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}

  1. Montrer que {f} a un seul extrémum local sur {A_{\lambda}} et que c’est un minimum local.
  2. Montrer que ce minimum local est en fait un minimum absolu.
  3. Montrer que {f} est minorée sur {A_{\lambda}}, et déterminer {{\mu}_{n}(\lambda) = \displaystyle\inf_{x\in A_{\lambda}}f(x)}.