Minimum d’une intégrale à paramètre

(Oral X-Cachan Psi)
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}.

  1. Déterminer le domaine de {f}.
  2. Établir que {f} est continue sur ce domaine.
  3. Trouver un équivalent de {f} en {0}.
  4. Montrer que le graphe de {f} a pour axe de symétrie la droite d’équation {x = 1\text{/}2}.
  5. Déterminer la borne inférieure de {f}.