Une série de produits

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\varphi:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction continue.
On suppose qu’il existe une suite {(a_{m})_{m\ge0}} telle que, quand {x\to\infty}, et pour tout {m\in\mathbb{N}} :
{\varphi(x)\!=\!a_{0} \!+\! \dfrac{a_{1}}{x} \!+\! \ldots \!+\! \dfrac{a_{m}}{x^{m}}\!+\!\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{x^{m}}\Bigr)}

  1. À quelles conditions sur (a_m)_{m\ge0} la série {\displaystyle\sum\varphi(n)} est-elle convergente ?
  2. Convergence de {n\mapsto p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}?
  3. Quand {\displaystyle\sum p_{n}} est-elle convergente ?
  4. Pour quels {\alpha} la série de terme général {\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\bigl(2-\text{e}^{\alpha/k}\bigr)} est-elle convergente ?