Probabilités et urne bicolore

(Oral Mines-Ponts)
Soit {a\in\mathbb{N}^{*}}. Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires indiscernables au toucher. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives.

  1. Montrer que la suite {(\mathbb{P}(X\ge n))} satisfait une relation de récurrence d’ordre {2}.
  2. En déduire la loi de {X}.
  3. Montrer que {X} est d’espérance finie et calculer {\text{E}(X)} en utilisant la loi de {X}.
  4. Calculer {E(X)} en utilisant exclusivement la relation de la question 1.