Une base de polynômes

(Oral Ccp)
Soient

{n\geq 2}

et, pour

{k\in\{0,\cdots ,n\}}

{P_k=X^k(1-X)^{n-k}}

.
Montrer que

{(P_0,\cdots\!,P_n)}

est une base de

{\mathbb{R}_n[X]}

.
Exprimer

{1,X,\cdots ,X^n}

dans cette base.

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Par l’absurde, on suppose que les $P_k$ sont liés.

Il existe donc ${\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_n}$ non tous nuls) tels que ${\displaystyle\sum_{k=0}^n\lambda_kP_k=0\ (\star)}$ .

Soit ${k_0}$ minimum tel que ${\lambda_{k_0}\ne0}$ .

Alors l’égalité ${(\star)}$ devient ${\lambda_{k_0}P_{k_0}=-\displaystyle\sum_{k=k_0+1}^n\lambda_k P_k}$ .

On divise par ${X^{k_0}}$ et on trouve :
${\lambda_{k_0}(1-X)^{n-k_0}=-\displaystyle\sum_{k=k_0+1}^n\lambda_k X^{k-k_0}(1-X)^{n-k}}$ Si on substitue ${0}$ à ${X}$ , on obtient ${\lambda_{k_0}=0}$ : absurde!

Ainsi les ${n+1}$ polynômes ${P_0,P_1,\ldots,P_n}$ sont libres dans ${\mathbb{R}_n[X]}$ .

Puisque ${\dim(\mathbb{R}_n[X])=n+1}$ , ils en forment une base.
Pour tout ${m}$ dans ${[[ 0,n]]}$ , on écrit :
${\begin{array}{rl}X^m&=X^m(X+1-X)^{n-m}\\\\&=X^m\displaystyle\sum_{k=0}^{n-m}\dbinom{n-m}{k}X^k(1-X)^{n-m-k}\\\\&=\displaystyle\sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-m}{k-m}X^{k}(1-X)^{n-k}\\\\&=\displaystyle\sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-m}{k-m}P_k\end{array}}$