Exercices corrigés
| Exercice 1. Montrer qu’un déterminant antisymétrique d’ordre impair est nul. |
| Exercice 2. Soit {A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}, de coefficients diagonaux nuls, les autres valant {\pm 1}. On suppose que {n} est pair. Montrer que {A} est inversible. |
| Exercice 3. Soient {A} et {B} deux matrices de types respectifs {(n,p)} et {(p,n)}, avec {n\ne p}. Montrer que l’un au moins des déterminants {\det(AB)} ou {\det(BA)} est nul. |
| Exercice 4. Soit {A} carrée d’ordre {n}, nilpotente. Montrer que {\det(\text{I}+A)=1}. |
| Exercice 5. On pose {E=\mathbb{K}_n[X]}. Soit {f} définie sur {E} par {f(P)(x)=\displaystyle\displaystyle\int_x^{x+1}\!\!\!P(t)\ dt}Montrer que {f\in\mathcal{L}(E)}. Calculer {\det(f)} |