Droite de Simson, cercle de Miquel

On se place dans un plan euclidien orienté. Les raisonnements seront accompagnés de figures, sans qu’une figure puisse tenir lieu de démonstration. Les différentes parties ne sont pas indépendantes. Les angles de droites sont pris modulo {\pi}.

I. Cercles et homothéties

On fixe un cercle {C} de centre {\Omega} et de rayon {r\gt0}.

I. 1. (a) Soit {h} l’homothétie de centre {H} et de rapport {\lambda\ne0}. Montrer que {h(C)} est le cercle de centre {h(\Omega)} et de rayon {|\lambda|r}.

I. 1. (b) Si {H} n’est pas intérieur à {C}, montrer que toute tangente à {C} passant par {H} est aussi tangente à {h(C)}.

I. 1. (c) Si {H\in C} et {\lambda\ne1}, montrer que {C} et {h(C)} sont tangents en {H}.

I. 2. (a) Pour un cercle {C'} de centre {\Omega'} et de rayon {r'\gt0}, déterminer les homothéties {h} telles que {h(C)=C'}.

I. 2. (b) Si {C,C'} sont tangents en {H}, montrer qu’une homothétie de centre {H} transforme {C} en {C'}.

I. 3. Soient {D,D'} distinctes et {H} extérieur aux deux droites. Deux droites distinctes issues de {H} les coupent respectivement en {A,A'} et {B,B'}. Montrer que {D\parallel D'} si et seulement si les cercles circonscrits à {HAB} et {HA'B'} sont tangents en {H}.

II. Droites de Simson et de Steiner

Soit {ABC} un triangle non aplati, de cercle circonscrit {C}. Pour un point {M}, on note {A',B',C'} ses projections sur {(BC),(CA),(AB)}. Dans la question 1, {M} n’appartient à aucune de ces trois droites.

II. 1. (a) Vérifier que {M,A',B',C'} sont distincts.

II. 1. (b) Prouver {(A'B',A'M)=(CA,CM)\pmod\pi}.

II. 1. (c) En déduire que {A',B',C'} sont alignés si et seulement si {M\in C\setminus\{A,B,C\}}.

II. 2. Si {M} appartient à l’une des droites {(BC),(CA),(AB)}, montrer que les projections sont alignées si et seulement si {M} est un sommet.

Ainsi les projections de {M} sur les trois côtés sont alignées exactement lorsque {M\in C}. Leur droite, unique car les trois projections ne sont jamais toutes confondues, est la droite de Simson {D_M}.

II. 3. Quelles sont les droites de Simson de {A,B,C} relativement au triangle {ABC} ?

Soit {H} l’orthocentre de {ABC}. Dans la question 4, {M} est son symétrique par rapport à {(BC)}. On veut montrer que {M\in C}. Les projections {A',B',C'} gardent leur définition. Les calculs d’angles suivants sont menés lorsque les points qui définissent les droites sont distincts ; les cas particuliers seront traités à la fin.

II. 4. (a) Montrer {(C'M,C'A')=(BC,BH)\pmod\pi}.

II. 4. (b) Montrer {(C'M,C'B')=(AM,AC)\pmod\pi}.

II. 4. (c) En déduire que {M\in C} et conclure sur les trois symétriques de l’orthocentre.

II. 5. Pour {M\in C}, soient {A'',B'',C''} ses symétriques par rapport aux côtés. Montrer qu’ils sont sur une unique droite {\Delta_M} parallèle à {D_M}, appelée droite de Steiner. Montrer que celle d’un sommet est sa hauteur.

On veut désormais montrer que toute droite de Steiner {\Delta_M}, pour {M\in C}, passe par l’orthocentre {H}.

II. 6. (a) Vérifier le résultat lorsque {M} est un sommet. Dans la suite, on suppose {M\notin\{A,B,C\}}.

II. 6. (b) Montrer que la tangente à {C} en {M} est non parallèle à au moins deux hauteurs. On pourra supposer qu’il s’agit de celles issues de {A,B}.

II. 6. (c) Montrer que {M} ne peut être à la fois sur les hauteurs issues de {A,B}. On supposera donc, quitte à échanger ces sommets, qu’il n’est pas sur celle issue de {A}.

Par {M}, on mène la parallèle à la hauteur issue de {A}. Elle est distincte de cette hauteur et non tangente à {C} ; elle recoupe donc {C} en {N\ne M}. On note {H_1} le symétrique de {H} par rapport à {(BC)}, qui appartient à {C} d’après II.4.

Configuration de la preuve du théorème de Steiner

II. 6. (d) i. Justifier {(NA,NM)=(BA,BM)=(A'C',A'M)\pmod\pi}.

II. 6. (d) ii. En déduire {(AN)\parallel D_M}.

II. 6. (d) iii. Justifier {(HA'',MA')=(MA',MH_1)=(AN,AH_1)\pmod\pi}.

II. 6. (d) iv. En déduire {(AN)\parallel(HA'')}.

II. 6. (d) v. Conclure et donner une construction simple des droites de Simson et de Steiner de {M}.

III. Point et cercle de Miquel

Une même droite rencontre {(BC),(CA),(AB)} en {D,E,F}. Les six points {A,B,C,D,E,F} sont distincts. Cette configuration est un quadrilatère complet. On note {C_1,C_2,C_3,C_4} les cercles circonscrits à {ABC,DBF,AEF,DCE}.

Quadrilatère complet ABCDEF

III. 1. (a) Montrer que {C_1,C_2} se coupent en exactement deux points. On note {K} celui qui est distinct de {B}.

III. 1. (b) Montrer que {K} appartient aussi à {C_3,C_4}. On notera {K_1,K_2,K_3,K_4} ses projections sur {(BC),(CA),(AB),(DE)}.

III. 1. (c) Montrer que {K} a la même droite de Steiner relativement aux quatre triangles. Que dire de leurs orthocentres ?

On note {\Omega_i} le centre de {C_i}.

III. 2. (a) Montrer que les quatre centres sont distincts.

III. 2. (b) Montrer que les quatre centres ne sont pas alignés.

III. 2. (c) Montrer {(AF,AE)=(\Omega_3\Omega_2,\Omega_3\Omega_4)\pmod\pi}.

III. 2. (d) Montrer {(AB,AC)=(\Omega_1\Omega_2,\Omega_1\Omega_4)\pmod\pi}.

III. 2. (e) En déduire que les quatre centres sont cocycliques.

On note désormais {K_2,K_4} les points diamétralement opposés à {K} sur {C_2,C_4} ; cette notation remplace celle des projections utilisée en III.1.

III. 3. (a) Montrer que {D,K_2,K_4} sont alignés.

III. 3. (b) Prouver {(K\Omega_2,K\Omega_4)=(KB,KC)\pmod\pi}.

III. 3. (c) Montrer que {K} appartient au cercle de Miquel.

III. 4. (a) Montrer qu’il existe une unique similitude directe {f} telle que {f(A)=C}, {f(F)=D}.

III. 4. (b) Soit {I} le centre de cette similitude, d’angle {\alpha}. Montrer {I\ne B}.

III. 4. (c) Montrer {(IA,IC)=(BA,BC)} et {(IF,ID)=(BF,BD)} modulo {\pi}.

III. 4. (d) En déduire que {I} est le point de Miquel.

IV. Paraboles tritangentes à un triangle

IV. 1. (a) Soit une parabole de foyer {F}, de directrice {D} et de sommet {S}. Pour un point {M} de la parabole, montrer que la projection {K} du foyer {F} sur la tangente {\Delta_M} appartient à la tangente au sommet. Montrer que le symétrique {H} du foyer {F} par rapport à {\Delta_M} appartient à {D}.

IV. 1. (b) Réciproquement, pour {N\in D}, montrer que la médiatrice de {[N,F]} est une tangente à la parabole.

IV. 2. (a) Si une parabole est tangente aux trois côtés d’un triangle {ABC}, montrer que son foyer {F} appartient au cercle circonscrit et est distinct des sommets.

IV. 2. (b) Réciproquement, pour {F\in C\setminus\{A,B,C\}}, soit {D} sa droite de Steiner. Montrer que la parabole de foyer {F} et de directrice {D} est tritangente à {ABC}.

IV. 3. Pour un quadrilatère complet {ABCDEF}, montrer qu’il existe une unique parabole tangente à {(AB),(AC),(BC),(DE)}. Préciser son foyer et sa directrice.

Parabole quadritangente au quadrilatère complet