Entiers parfaits pairs

Dans tout ce problème, les entiers sont naturels : on travaille donc dans {\mathbb N}.

Si {n} est un entier non nul, on note {S(n)} la somme de ses diviseurs dans {\mathbb N^*} (y compris {1} et {n}). Ainsi, {S(1)=1}, {S(2)=3} et {S(833)=1+7+17+49+119+833=1026}Un entier {n} est dit parfait lorsqu’il vérifie {S(n)=2n}. Le but de ce problème est la recherche des nombres parfaits pairs.

On notera {D(n)} l’ensemble des diviseurs de {n} dans {\mathbb N^*}, de sorte que {S(n)=\sum\limits_{k\in D(n)}k}.

Question préliminaire. On note pour {n\in\mathbb N}, {M_n=2^n-1}. Montrer que si {p,q\in\mathbb N}, alors {M_p} divise {M_{pq}}.

En déduire que pour que {M_n} soit premier, il est nécessaire que {n} soit premier.

Partie I

1. Écrire sans ruser une procédure Maple prenant en paramètre un entier {n} (que l’on supposera {\ge1} sans le tester) et retournant true ou false suivant que {n} est parfait ou pas. On rappelle que irem(n,k) vaut le reste de la division euclidienne de {n} par {k}.

2. Expliquer (sans programmer) comment on pourrait améliorer l’efficacité de cette procédure.

3. Montrer que {n} est premier si et seulement si {S(n)=n+1}.

4. Si {p} est premier et si {n\in\mathbb N^*}, déterminer {D(p^n)} et montrer que {S(p^n)=(p^{n+1}-1)/(p-1)}.

Partie II

On considère dans cette partie {a,b\in\mathbb N^*} tels que {a\wedge b=1}. Nous allons montrer que {S(ab)=S(a)S(b)}.

Soit {f} l’application définie sur {D(a)\times D(b)} par {f(x,y)=xy}.

1. Montrer que {f} est à valeurs dans {D(ab)}.

2. Montrer que si {u\mid a} et {v\mid b}, alors {u\wedge v=1}.

3. En déduire que {f} est injective.

4. Montrer que {f} est surjective : on pourra prendre {d} dans {D(ab)} et considérer {x=d\wedge a}.

5. Établir que {S(ab)=S(a)S(b)}.

6. Montrer que ceci fournit une nouvelle méthode pour calculer {S(n)}. Comparer avec la méthode utilisée dans la procédure Maple.

Partie III

On va montrer que {n} pair est parfait si et seulement s’il est de la forme {2^{p-1}(2^p-1)} avec {2^p-1} premier.

1. Soit {p} dans {\mathbb N^*} tel que {2^p-1} est premier. Montrer que {2^{p-1}(2^p-1)} est un nombre parfait pair.

On considère désormais un nombre parfait pair {n}.

2. Montrer que {n} a au moins un facteur premier impair.

Ainsi, on peut écrire {n=2^ab} avec {a\in\mathbb N^*} et {b\ge3} impair.

3. Montrer qu’il existe {c} dans {\mathbb N^*} tel que {\begin{cases}b=(2^{a+1}-1)c\\[4pt]S(b)=2^{a+1}c\end{cases}}

4. Montrer par l’absurde que {c=1}.

5. En déduire que {b} est premier puis que {a+1} est premier. Conclure.

6. Donner trois nombres parfaits pairs.

7. On ne sait pas grand-chose sur les nombres parfaits impairs : montrer tout de même que si {n} est parfait et impair, alors il admet au moins trois diviseurs premiers distincts.