Soit {E} un ensemble. Pour toute partie {A} de {E}, on note {\overline A} le complémentaire de {A} dans {E}.
Soit {A} une partie de {E}. On cherche à caractériser les solutions {(X,Y)} de l’équation {X\cap Y=A}.
1. (a) Soit {A} une partie de {E}. Montrer que pour tout couple {(R,S)} de parties de {E}, les ensembles {\begin{cases}X=A\cup(R\cap\overline S)\\[4pt]Y=A\cup(\overline R\cap S)\end{cases}}vérifient {X\cap Y=A}.
1. (b) Montrer que, réciproquement, toute solution {(X,Y)} de {X\cap Y=A} est de la forme ci-dessus pour, au moins, un couple {(R,S)} de parties de {E}.
Dans cette question, on désire étudier l’équation {(A\cap X)\cup(B\cap\overline X)=C}, où {A,B,C} sont des parties données de {E}, {X} étant une partie inconnue de {E}.
On suppose que {X_0} est solution de cette équation.
3. (a) i. Montrer que {A\cap B\subset C} et {C\subset A\cup B}.
{D} étant une partie de {E}, on pose : {\begin{array}{rl}X={}&(\overline B\cap C)\cup(B\cap\overline C)\\[4pt]&\cup[D\cap((A\cap B)\cup(\overline A\cap\overline B))]\end{array}}Démontrer que :
3. (d) Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur {A,B,C}, pour que l’équation {(A\cap X)\cup(B\cap\overline X)=C} ait au moins une solution.