Équations du second degré dans ℂ

Exercices corrigés


Exercice 1.
Dans {\mathbb{C}}, résoudre l’équation {(E):\ z^2-2iz+2-4i=0}.

Exercice 2.
Dans {\mathbb{C}}, résoudre l’équation {z^3-i=6(z+i)}.

Exercice 3.
Dans {\mathbb{C}}, résoudre l’équation {z^4-(5-14i)z^2-2(5i+12)=0}.

Exercice 4.

  1. Soient {a,b,c} les racines dans {\mathbb{C}} de {P\!=\!z^3\!-\!(3\!+\!2i)z^2\!\!+\!(3\!+\!11i)z\!-\!2(1\!+\!7i)}Calculer {a,b,c} sachant que l’une d’elle est réelle.
  2. Trouver l’isobarycentre du triangle de sommets {A(a),B(b),C(c)}.

Exercice 5.
On se donne {x\in\mathbb{C}\setminus[-1,1]}. Montrer que :{\exists\,!\,z\in\mathbb{C},\;x=\dfrac12\Bigl(z+\dfrac1z\Bigr),\left|{z}\right|>1}

Exercice 6.

  1. Résoudre {(E): x^2+4x+1+i(3x+5)=0} dans {\mathbb{C}}
  2. Résoudre {(E'): (x^2+4x+1)^2+(3x+5)^2=0} dans {\mathbb{C}}
  3. Factoriser {(x^2\!+\!4x\!+\!1)^2\!+\!(3x\!+\!5)^2} dans {\mathbb{R}[X]}