Exercices sur les coniques

Exercice 1

Exercice 1 Soit {\Delta_A}, {\Delta_B} les tangentes en deux points distincts {A}, {B} d’une parabole {\Gamma} de foyer {F}.

Montrer que {\Delta_A} et {\Delta_B} sont orthogonales si et seulement si {F} appartient au segment {[A,B]}.

Préciser quel est alors l’ensemble des points d’intersection de ces tangentes orthogonales.

Exercice 2

Soit {\Gamma} une ellipse de grand axe {[AA']}.

Soit {M} un point de {\Gamma}, distinct de {A,A'}. Par {A} et {A'}, on mène les parallèles au petit axe. La tangente en {M} recoupe ces deux droites en {P} et {Q}.

Montrer que {AP\cdot A'Q} ne dépend pas du point {M} sur {\Gamma}.

Exercice 3

Soit {\Gamma} une ellipse de centre {O}, de foyers {F} et {F'}. On note {a} le demi-grand axe de {\Gamma}.

Soit {M} un point quelconque de {\Gamma}. Soit {\Delta} la tangente en {M} à {\Gamma}. Soit {N} le symétrique de {F} par rapport à {\Delta}. Soit {H} la projection de {F} sur {\Delta}.

1. Montrer que {F',M,N} sont alignés.

2. Déterminer le lieu de {N} quand {M} décrit {\Gamma}.

3. En déduire le lieu de {H} quand {M} décrit {\Gamma}.

Exercice 4 Soit {M} un point d’une hyperbole {\Gamma}. La tangente en {M} recoupe les asymptotes en {P} et {Q}. Montrer que {M} est le milieu du segment {[P,Q]}.

Exercice 5 Imaginer une construction géométrique permettant de tracer les deux tangentes à une ellipse {\Gamma} menées par un point {M} extérieur à {\Gamma}.

On rappelle que le « grand cercle » {(C)} de l’ellipse est l’image de {\Gamma} dans l’affinité {f} de base le grand axe, de direction le petit axe, et de rapport {a/b} ({a=} demi-grand axe, {b=} demi-petit axe).