Exponentielle de matrice

(Oral Mines-Ponts 2018)

  1. Soit {A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}. Montrer que la série {\displaystyle\sum \dfrac{A^{k}}{k!}} converge.
    On note {\exp (A)} la somme.
  2. Montrer que {\text{Sp}(\exp (A))=\exp (\text{Sp}(A))}.
  3. Calculer {\exp (A)} lorsque {A} est une matrice de rotation.
  4. L’application {A\mapsto \exp (A)} est-elle injective ? surjective ?