On note {\mathrm E(x)} la partie entière de tout réel {x}. On désigne par {S} l’ensemble des suites réelles {(a_n)_{n\geq1}} telles que {a_n>0} pour {n\geq2}. Pour une telle suite, on pose {[a_1,\ldots,a_n]=a_1+\cfrac1{a_2+\cfrac1{a_3+\cfrac1{\ddots+\cfrac1{a_n}}}}\tag{1}}En particulier, {[a_1]=a_1}, {[a_1,a_2]=a_1+1/a_2}, et {[a_1,a_2,a_3]=a_1+1/(a_2+1/a_3)}. Si les {a_k} sont rationnels, cette expression est rationnelle.
Les identités suivantes découlent de la définition : {[a_1,\ldots,a_n]=a_1+\frac1{[a_2,\ldots,a_n]}\quad(n\geq2)\tag{2}}{[a_1,\ldots,a_n]=\left[a_1,\ldots,a_{n-2},a_{n-1}+\frac1{a_n}\right]\tag{3}}Si {a_n>1}, on peut aussi écrire {[a_1,\ldots,a_n]=[a_1,\ldots,a_{n-1},a_n-1,1]\tag{4}}À une suite réelle {(a_n)}, on associe les suites {(p_n),(q_n)} définies par {\begin{array}{c}p_{-1}=0,\quad q_{-1}=1\\[4pt]p_0=1,\quad q_0=0\\[4pt]p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}\quad(n\geq1)\\[4pt]q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}\quad(n\geq1)\end{array}\tag{5}}En particulier, {p_1=a_1}, {q_1=1}, {p_2=a_2a_1+1}, {q_2=a_2}. Pour une suite de {S}, une récurrence à deux termes donne {q_n>0} pour {n\geq1}.
Partie I
Dans cette partie, {(a_n)} est un élément quelconque de {S}. On lui associe les suites {(p_n),(q_n)} par (5).
On va prouver, pour {n\geq1}, {[a_1,\ldots,a_n]=\frac{p_n}{q_n}\tag{6}}
1. (b) Fixons {n\geq1} et définissons {a'_k=a_k} pour {k\ne n}, {a'_n=a_n+1/a_{n+1}}. On associe à {(a'_k)} les suites {(p'_k),(q'_k)} comme en (5). Montrer {p'_n/q'_n=p_{n+1}/q_{n+1}}.
3. (b) En déduire {[a_1,\ldots,a_n,t]-\frac{p_n}{q_n}=\frac{(-1)^{n+1}}{q_n(tq_n+q_{n-1})}\tag{10}}{[a_1,\ldots,a_n,t]-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}=\frac{(-1)^nt}{q_{n-1}(tq_n+q_{n-1})}\tag{11}}
Dans cette partie, {a_1\in\mathbb Z} et {a_n\in\mathbb N^*} pour {n\geq2}. On conserve {(p_n),(q_n)} et on pose {r_n=[a_1,\ldots,a_n]=p_n/q_n}.
1. (a) Montrer que {(p_n)} est une suite de {\mathbb Z}, et {(q_n)} une suite de {\mathbb N^*} strictement croissante à partir de {n=2}. Qu’en déduit-on sur sa limite ?
Soit {x\in\mathbb R}. Posons {x_1=x} et {a_1=\mathrm E(x_1)}. Si {x_1=a_1}, on arrête. Sinon, {0\lt x_1-a_1\lt1}, et on pose {x_2=1/(x_1-a_1)>1}. Alors {x=[a_1,x_2]}, et on pose {a_2=\mathrm E(x_2)\geq1}.
Si {x_2=a_2}, on arrête avec {x=[a_1,a_2]}. Sinon, on pose {x_3=1/(x_2-a_2)>1}, ce qui donne {x=[a_1,a_2,x_3]}, et on poursuit.
En général, si {x_n} existe, on a {x=[a_1,\ldots,a_{n-1},x_n]} et on pose {a_n=\mathrm E(x_n)}. Si {x_n=a_n}, on arrête avec {x=[a_1,\ldots,a_n]}. Sinon, {x_{n+1}=\frac1{x_n-a_n}>1,\quad a_{n+1}=\mathrm E(x_{n+1})}et {x=[a_1,\ldots,a_n,x_{n+1}]}.
Ce procédé est le développement de {x} en fraction continue ; il peut être fini ou infini. Les {a_n} sont ses quotients partiels et {r_n=[a_1,\ldots,a_n]} sa {n}-ième réduite. Les suites {(p_n),(q_n)} sont définies par (5), aussi longtemps que les {a_n} existent, et {r_n=p_n/q_n}.
On va montrer que le développement est fini si et seulement si {x} est rationnel.
1. (a) Montrer que si le développement de {x} est fini, alors {x} est rationnel.
1. (b) Réciproquement, soit {x=m/d}, avec {m\in\mathbb Z} et {d\in\mathbb N^*}. Montrer que le développement est fini et que les {a_k} sont les quotients successifs de l’algorithme d’Euclide appliqué à {(m,d)}.
On étudie la qualité de l’approximation de {x} par ses réduites. On suppose l’existence des coefficients invoqués ; cela ne pose pas de difficulté si {x} est irrationnel, son développement étant alors infini.
3. (a) En utilisant I.3(b), montrer {x-r_n=\frac{(-1)^{n+1}}{q_n(x_{n+1}q_n+q_{n-1})}}En déduire que si {x} est irrationnel, {r_n\to x}.
3. (c) En utilisant {a_{n+1}\leq x_{n+1}\lt a_{n+1}+1}, montrer {\frac1{q_{n+1}q_{n+2}}\lt\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|\leq\frac1{q_nq_{n+1}}}En déduire à nouveau {|x-r_{n+1}|\lt|x-r_n|}.
3. (d) Pour {n\geq2}, montrer que {r_n} est une meilleure approximation de {x} parmi les rationnels de dénominateur au plus {q_n} : si {r=m/d} et {1\leq d\leq q_n}, alors {\left|x-\frac md\right|\geq\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|}Montrer d’abord que {r} ne peut être strictement compris entre {r_n} et {r_{n-1}}, puis conclure.
On reprend une suite infinie d’entiers, avec {a_1\in\mathbb Z} et {a_n\geq1} pour {n\geq2}, et les notations de la partie II. On note {[a_1,a_2,\ldots]} la limite des réduites.
Par exemple, {[1,2,3,4,\ldots]} a pour quotients partiels {a_n=n}. Lorsqu’ils sont périodiques à partir du rang {p+1}, de période {T}, on écrit {[a_1,\ldots,a_p,\overline{a_{p+1},\ldots,a_{p+T}}]}Ainsi {[1,4,\overline{3,2,5}]=[1,4,3,2,5,3,2,5,\ldots]}.
On calcule d’abord le début du développement de {\pi} et de {e}, avec la précision permise par une calculatrice.
1. (a) Avec {\pi\simeq3.14159265359}, trouver ses six premières réduites.
2. (b) Soit {x=[a_1,a_2,\ldots]} le développement d’un irrationnel obtenu dans la partie III. Soit {(b_n)} une suite d’entiers, avec {b_1\in\mathbb Z} et {b_n>0} pour {n\geq2}, telle que {[b_1,b_2,\ldots]=x}. Montrer {b_n=a_n} pour tout {n\geq1}.
On considère les irrationnels dont le développement est périodique à partir d’un certain rang. Un irrationnel {x} est dit quadratique s’il s’écrit {x=r+s\sqrt\delta}, où {r,s\in\mathbb Q} et {\delta\in\mathbb N^*}.
1. Montrer qu’un irrationnel {x} est quadratique si et seulement s’il est solution de {ax^2+bx+c=0}, avec {(a,b,c)\in\mathbb Z^*\times\mathbb Z^2}.
5. On démontre (ce sera pour une prochaine fois) la réciproque : un irrationnel est quadratique si et seulement si son développement en fraction continue est périodique au moins à partir d’un certain rang. Cette caractérisation est le théorème de Lagrange. Ce dernier point est un résultat annoncé, sans démonstration demandée dans le sujet.