Le plan euclidien orienté est identifié à {\mathbb C}. Plutôt que d’évoquer le point d’affixe {a}, on parlera simplement du point {a}.
Les propriétés étudiées sont invariantes par similitude. On considère donc un triangle {T} inscrit dans le cercle unité {\mathbb U=\{z:|z|=1\}}, de sommets distincts {a,b,c}. Pour les figures uniquement, on prendra {a=e^{-11i\pi/12}}, {b=e^{-i\pi/12}} et {c=e^{5i\pi/8}}.
I. La droite d’Euler
I.1. On pose {s=a+b} et {h=a+b+c}. Montrer que {0,s,h,c} forment un parallélogramme. En déduire que les hauteurs de {T} se coupent au point {h}.
I.2. Uniquement dans cette question, on suppose {a+b+c=0}. Montrer que {ab+ac+bc=0}, puis que {a,b,c} sont les trois racines cubiques d’un même nombre complexe de module {1}. Qu’en déduit-on pour {T} ?
I.4. Si {T} n’est pas équilatéral, la droite {E} contenant {0,m,h} est appelée droite d’Euler. Montrer que {z\in E\Longleftrightarrow\bar h z-h\bar z=0}.
II.2. Montrer que la symétrie orthogonale par rapport à {(ab)} est {\sigma(z)=-ab\bar z+a+b}. Caractériser de même la projection orthogonale sur {(ab)}.
On note {\alpha,\beta,\gamma} les projetés de {h} sur {(bc),(ca),(ab)} : ce sont les pieds des hauteurs issues de {a,b,c}. Le triangle {\mathcal H=\alpha\beta\gamma} est le triangle orthique de {T}.
On suppose ici {T} non rectangle, pour que ces trois points soient distincts.
III.1. Montrer que {\alpha=\frac12(h-\bar a bc)}, en utilisant II.2. Donner les expressions de {\beta} et {\gamma}.
III.3. Montrer que {(\gamma c)} est bissectrice des droites {(\gamma\alpha)} et {(\gamma\beta)}.
Indication : pour établir {(\widehat{\gamma\alpha,\gamma c})=(\widehat{\gamma c,\gamma\beta})\ [\pi]}, utiliser en le justifiant que {a,\gamma,\alpha,c} sont cocycliques, ainsi que {a,\gamma,h,\beta}.
En déduire que, si les angles de {T} sont aigus, le triangle orthique est la trace d’un faisceau lumineux ou la trajectoire d’une boule de billard inscrite dans {T}.
On appelle cercle d’Euler de {T} le cercle {\mathcal C} circonscrit aux milieux de ses côtés ; le triangle joignant ces milieux est le triangle médian.
IV.1. Montrer que {\mathcal C} a pour centre {k=h/2} et pour rayon {1/2}. Par quelle homothétie de rapport positif se déduit-il de {\mathbb U} ?
V. Une propriété caractéristique du triangle orthique
Les angles de {T} sont maintenant tous aigus. On choisit {u\in[ab]}, {v\in[ac]}, {w\in[bc]} et on note {\Delta} le triangle de sommets {u,v,w}. On veut montrer que son périmètre {\psi(\Delta)} est minimum pour le triangle orthique.
On note {x} et {y} les symétriques de {u} par rapport à {(ca)} et {(cb)}. Lorsque le segment {[xy]} rencontre {[ac]} puis {[bc]}, on note ces intersections {u'} et {u''}.
V.1. (a) Montrer que, si {u} est fixé et si ces intersections appartiennent aux segments indiqués, le périmètre de {\Delta} est minimum pour {v=u'} et {w=u''}.