Inégalités de Chebyshev

Notations et objectifs

On note {\mathcal P} l’ensemble des nombres premiers et, pour {x\geqslant2}, {\pi(x)} le nombre de premiers inférieurs ou égaux à {x}. Pour {p\in\mathcal P}, {u_p(n)} désigne l’exposant de {p} dans {n}. On pose {v_p(n)=u_p(n!)} et {\alpha_p(n)=u_p\bigl(\binom{2n}{n}\bigr)}. Ainsi
{\begin{array}{l}n=\displaystyle\prod_{p\in\mathcal P}p^{u_p(n)}\\[8pt]n!=\displaystyle\prod_{p\in\mathcal P}p^{v_p(n)}\\[8pt]\displaystyle\binom{2n}{n}=\prod_{p\in\mathcal P}p^{\alpha_p(n)}\end{array}}Ces produits n’ont qu’un nombre fini de facteurs différents de {1}. On note {[x]} la partie entière de {x}.
On cherche à encadrer {\pi(x)}, puis la somme des inverses des nombres premiers et le {n}-ième nombre premier.

I. Une minoration de {\pi(x)}

Dans les questions 1 et 2, {n\geqslant2} est un entier fixé. Dans la question 1, {p} est un nombre premier fixé.

I. 1. (a) Pour {k\geqslant1}, montrer que le nombre de multiples de {p^k} dans {\{1,\ldots,n\}} est {[n/p^k]}.

I. 1. (b) En déduire {v_p(n)=\sum\limits_{k\geqslant1}[n/p^k]}, cette somme étant finie.

I. 1. (c) Montrer que
{\begin{array}{l}\alpha_p(n)=v_p(2n)-2v_p(n)\\[8pt]\phantom{\alpha_p(n)}=\displaystyle\sum_{k\geqslant1}\left(\left[\frac{2n}{p^k}\right]-2\left[\frac n{p^k}\right]\right)\end{array}}

I. 2. (a) Vérifier que {[2x]-2[x]\in\{0,1\}} pour tout réel {x}.

I. 2. (b) Pour {p\in\mathcal P}, soit {\gamma_p(n)} le plus grand entier {\gamma} tel que {p^\gamma\leqslant2n}. En déduire {\alpha_p(n)\leqslant\gamma_p(n)}.

I. 2. (c) Si {p} est un diviseur premier de {\binom{2n}{n}}, montrer que {p\leqslant2n}.

I. 2. (d) En déduire
{\binom{2n}{n}\leqslant\prod_{p\leqslant2n}p^{\gamma_p(n)}\leqslant(2n)^{\pi(2n)}}

I. 3. (a) Montrer que {\binom{2n}{n}\geqslant2^n} et en déduire {\pi(2n)\geqslant n\ln2/\ln(2n)} pour {n\geqslant1}.

I. 3. (b) Pour {x\geqslant2}, poser {n=[x/2]} et prouver {\pi(x)\geqslant x\ln2/(4\ln x)}.

II. Une majoration de {\pi(x)}

II. 1. (a) Montrer que tout premier {p} tel que {n\lt p\leqslant2n} divise {\binom{2n}{n}}.

II. 1. (b) En déduire
{n^{\pi(2n)-\pi(n)}\leqslant\prod_{n\lt p\leqslant2n}p\leqslant\binom{2n}{n}}

II. 1. (c) Montrer que {\binom{2n}{n}\leqslant4^n}, puis que {\pi(2n)-\pi(n)\leqslant2n\ln2/\ln n} pour {n\geqslant2}.

II. 2. (a) Vérifier que {\pi(2^{k+1})\leqslant2^k} pour tout entier {k\geqslant0}.

II. 2. (b) Montrer que {(k+1)\pi(2^{k+1})-k\pi(2^k)\leqslant3\cdot2^k} pour {k\geqslant0}.

II. 2. (c) En déduire {(n+1)\pi(2^{n+1})\leqslant3\cdot2^{n+1}} pour {n\geqslant0}.

II. 2. (d) Pour {x\geqslant2}, choisir {n} tel que {2^n\leqslant x\lt2^{n+1}}. En déduire {\pi(x)\leqslant6x\ln2/\ln x}.

Conclusion des parties I et II : pour {x\geqslant2},
{\frac{x\ln2}{4\ln x}\leqslant\pi(x)\leqslant\frac{6x\ln2}{\ln x}}

III. La somme des inverses des nombres premiers

On pose {S(x)=\sum\limits_{p\leqslant x}1/p}. Par exemple {S(12)=2927/2310}. On cherche à montrer que son ordre de grandeur est {\ln(\ln x)}. Dans cette partie, {n\geqslant3} est entier.

III. 1. (a) Montrer que {S(n)=\sum\limits_{k=2}^n(\pi(k)-\pi(k-1))/k}.

III. 1. (b) En déduire {S(n)=\sum\limits_{k=2}^{n-1}\pi(k)/(k(k+1))+\pi(n)/n}.

III. 1. (c) Prouver l’encadrement
{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{\ln2}{4}\left(\frac1{\ln n}+\sum_{k=3}^n\frac1{k\ln k}\right)\leqslant S(n)\\[8pt]\displaystyle S(n)\leqslant6\ln2\left(\frac1{\ln n}+\sum_{k=2}^{n-1}\frac1{k\ln k}\right)\end{array}}

III. 2. (a) Pour {k\geqslant3}, montrer que
{\ln\ln(k+1)-\ln\ln k\leqslant\frac1{k\ln k}\leqslant\ln\ln k-\ln\ln(k-1)}

III. 2. (b) En déduire l’existence de {\lambda,\mu\gt0} tels que {\lambda\ln\ln n\leqslant S(n)\leqslant\mu\ln\ln n} pour tout {n\geqslant3}.

III. 2. (c) Remarquer que la première inégalité implique {\lim\limits_{x\to+\infty}S(x)=+\infty}.

IV. Un encadrement du {n}-ième nombre premier

Pour {n\geqslant1}, on note {p_n} le {n}-ième nombre premier.

IV. 1. Utiliser II.2(d) pour prouver {p_n\geqslant n\ln n/(6\ln2)}.

IV. 2. (a) Vérifier que {\ln x/\sqrt x\leqslant\ln2/4} pour {x\gt2000}.

IV. 2. (b) En utilisant I.3(b), montrer que, si {p_n\geqslant2000},
{\frac{\ln p_n}{\sqrt{p_n}}\leqslant\frac{\ln2}{4}\leqslant\frac{n\ln p_n}{p_n}}En déduire {p_n\leqslant n^2}.

IV. 2. (c) Montrer que {p_n\leqslant8n\ln n/\ln2} lorsque {p_n\geqslant2000}.

IV. 2. (d) Écrire une instruction Maple vérifiant {p_n\leqslant8n\ln n/\ln2} pour {n\geqslant2} et {p_n\lt2000}.

Contexte

Les parties I et II donnent des bornes constantes de {\pi(x)} par {x/\ln x}. Le théorème des nombres premiers précise ce résultat : {\pi(x)\sim x/\ln x}. Il a été démontré en 1896 par Hadamard et de la Vallée Poussin, après les travaux de Chebyshev sur des encadrements de cette forme.
La partie III donne l’ordre de grandeur de {S(x)}. Le résultat plus précis est
{S(x)=\ln\ln x+B_1+o(1)}où {B_1\approx0{,}2614972128} est la constante de Meissel–Mertens. Euler avait démontré la divergence de cette somme en 1737.
Enfin, la partie IV encadre {p_n} ; on dispose de l’équivalent {p_n\sim n\ln n}.