Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)

  1. Montrer qu’il existe {\gamma \in\mathbb{R}} tel que {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln n+\gamma +o(1)}.
  2. Justifier l’existence de {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t}.
  3. Montrer que {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}h(x)\,\text{d}x}, où {h(x)=\left(\dfrac{1}{1-e^{-x}}-\dfrac{1}{x}\right) e^{-x}}.
  4. On définit {u_{n}:x\mapsto e^{-nx}\Bigl(1-\dfrac{1}{x}(1-e^{-x})\Bigr)} sur {\mathbb{R}^{+*}}.

    Considérer {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n(x)} et en déduire {I=\gamma}.