Le billard circulaire

Le but est d’étudier le mouvement d’une boule dans un billard circulaire, identifié au disque unité {D=\{z\in\mathbb C:|z|\leq1\}}. Son bord est le cercle {\Gamma=\{z:|z|=1\}}, de centre {O}.
La boule, assimilée à un point, est lancée depuis {A_0} d’affixe {-1}, avec une vitesse initiale d’affixe {e^{i\theta}}, où {0\lt\theta\lt\pi/2}.
Sa trajectoire {\mathcal T} est une succession infinie de segments séparant les contacts avec {\Gamma}. On néglige les frottements et les chocs sont parfaits : les deux segments à un point de contact sont symétriques par rapport à la normale au cercle.
On note {\mathcal C} la couronne {\sin\theta\leq|z|\leq1}.

Première partie

I.1. Soit {A_n} le point du {n}-ième choc et {a_n} son affixe, avec {a_0=-1}. Montrer que {a_n=(-1)^{n+1}e^{2in\theta}} pour {n\in\mathbb N}.

I.2. Montrer que la trajectoire est incluse dans la couronne {\mathcal C}. Quelle est la longueur de chacun de ses segments ?

I.3. Si {\theta/\pi} est irrationnel, montrer que les points {A_n} sont deux à deux distincts : la trajectoire n’est pas fermée.

I.4. Si {\theta/\pi=p/q}, avec {p,q} entiers positifs premiers entre eux, montrer que la trajectoire est fermée et le mouvement périodique.

I.5. Représenter {\mathcal T} et calculer sa longueur lorsque {\theta=\pi/12}, {\pi/6}, {\pi/3}.

I.6. Rappeler la méthode pour calculer {\cos(\pi/10)} à l’aide de radicaux. Représenter {\mathcal T} et donner sa longueur pour {\theta\in\{\pi/10,\pi/5,2\pi/5\}}.

Deuxième partie

Pour {a\in\mathbb R}, on note {a\mathbb Z=\{ka:k\in\mathbb Z\}}. Une partie {G} de {\mathbb R} est un sous-groupe additif si elle est non vide et si {x-y\in G} pour tous {x,y\in G}. Dans la question 1, {G} est un tel sous-groupe.

II.1. (a) Vérifier que {0\in G} et que {x\in G\Rightarrow-x\in G}.

II.1. (b) Montrer que {x+y\in G} pour {x,y\in G}.

II.1. (c) Établir que {a\mathbb Z\subset G} pour tout {a\in G}.

II.1. (d) Montrer que, pour tout {a\in\mathbb R}, {a\mathbb Z} est un sous-groupe additif de {\mathbb R}.

Soit désormais {G} un sous-groupe non réduit à {\{0\}}. On note {G^+=G\cap\mathbb R_+^*}.

II.2. (a) Montrer que {G^+} est non vide. Justifier l’existence de {a=\inf G^+\in\mathbb R_+}.

Dans la question II.2(b), on suppose {a\gt0}.

II.2. (b) i. Montrer que {a\in G}. Indication : raisonner par l’absurde, considérer {]a,2a[} et utiliser la caractérisation de la borne inférieure.

II.2. (b) ii. Montrer que {G\subset a\mathbb Z}. Indication : pour {x\in G}, justifier l’existence de {k\in\mathbb Z} tel que {0\leq x-ka\lt a}.

II.2. (b) iii. En déduire {G=a\mathbb Z} ; on dit que {G} est discret.

II.2. (c) On suppose {a=0}. Montrer que pour tous {x\lt y}, il existe {z\in G} tel que {x\lt z\lt y}. Utiliser un élément {t\in G\cap]0,y-x[}, après avoir justifié son existence.
On en déduit que tout intervalle ouvert contient une infinité d’éléments de {G} : {G} est dense. Les sous-groupes additifs de {\mathbb R} sont ainsi soit discrets, soit denses.

Troisième partie

On suppose {\theta/\pi} irrationnel. On veut montrer que la trajectoire est dense dans {\mathcal C} : pour tout {B\in\mathcal C} et tout {\varepsilon\gt0}, un point {M\in\mathcal T} vérifie {d(B,M)\lt\varepsilon}.
On pose {\varphi=2\theta+\pi} et {G=\{n\varphi+2m\pi:(n,m)\in\mathbb Z^2\}}.

III.1. (a) Montrer que {G} est un sous-groupe additif dense de {\mathbb R} ; pour la densité, raisonner par l’absurde.

III.1. (b) Montrer que l’écriture {x=n\varphi+2m\pi} d’un élément de {G} est unique.

On pose {H=\{n\varphi+2m\pi:(n,m)\in\mathbb N\times\mathbb Z\}}. Pour montrer sa densité, on fixe {x\lt y} et {\delta=(y-x)/3}.

III.2. (a) Justifier l’existence de {g=n\varphi+2m\pi\in G\cap]x+\delta,y-\delta[}.

III.2. (b) Montrer qu’il existe {h=n'\varphi+2m'\pi\in H\cap]-\delta,\delta[} avec {n'\geq-n}.
Indication : l’infinité des éléments {\tilde g=\tilde n\varphi+2\tilde m\pi} de {G\cap]-\delta,\delta[} implique une infinité de valeurs de {\tilde n}.

III.2. (c) En déduire que {H} est dense dans {\mathbb R}.

III.2. (d) En déduire que pour tout {t\in\mathbb R} et {\varepsilon\gt0}, il existe {(n,m)\in\mathbb N\times\mathbb Z} tel que {|n\varphi+(2m+1)\pi-t|\lt\varepsilon}.

III.3. (a) Montrer que {|e^{ix}-e^{iy}|\leq|x-y|} pour tous réels {x,y}.

III.3. (b) En déduire que pour tout {B\in\Gamma} et {\varepsilon\gt0}, il existe {n\in\mathbb N} tel que {d(A_n,B)\lt\varepsilon}.

III.4. Généraliser le résultat à un point {B\in\mathcal C}. Indication : mener par {B} une tangente au cercle intérieur et appliquer le résultat précédent à une intersection de cette tangente avec {\Gamma}.