Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telle que {\begin{array}{l}f(1)=1;\;\forall x\ne0,\;f(x)\,f\Bigl(\dfrac1x\Bigr)=1\;(1)\phantom{\biggl(}\\\forall(x,y)\!\in\!\mathbb{R}^2,\,f(x\!+\!y)\!=\!f(x)\!+\!f(y)\; (2)\end{array}}
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| Exercice 2. Pour tout {x} de {I=\,]0,1[}, de développement décimal {x=0,r_1r_2\ldots r_n\ldots}, on pose {f(x)=0,r_2r_1r_4r_3\ldots} Étudier la continuité de {f}. |
| Exercice 3. Soit {f} une fonction croissante sur {[a,b]}. Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable. |
| Exercice 4. Donner un exemple d’une fonction {f:[0,1]\rightarrow[0,1]}, strictement croissante et ayant une infinité dénombrable de points de discontinuité. |