Matrices à diagonale propre

(Oral Centrale)
Soit {A = (a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
On dit que {A} vérifie {{\mathcal P}} si son polynôme caractéristique est {\displaystyle\prod_{j=1}^{n}(X - a_{j,j})}.

  1. Donner des exemples de matrices vérifiant {{\mathcal P}}
  2. Soient {X_{1},X_{2},X_{3}} des v.a.r mutuellement indépendantes suivant {{\mathcal G}(1/2)}. On pose : {A =\begin{pmatrix}0&X_{1}-X_{2}& X_{2}-X_{3}\\X_{1}-X_{2}&0&0\\X_{2}-X_{3}&0&0\end{pmatrix}}Calculer la probabilité que {A} vérifie {{\mathcal P}}.
  3. Soit {A\in{\mathcal S}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que {A} vérifie {{\mathcal P}} si et seulement {A} est diagonale.