Matrices telles que A^T = A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} telle que {A^{\top}=A^{2}}

  1. Étudier la diagonalisation de {M=A^{\top}A}.
  2. Montrer que {A} est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices suivantes :
    {\begin{array}{c}0,\quad I_{2},\quad\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\\\\\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}\quad\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & -1\end{pmatrix}\end{array}}