1. Soit {M_1,\ldots,M_n} une famille de points du plan complexe, d’affixes {z_1,\ldots,z_n}. Montrer que {|z_1+\cdots+z_n|=|z_1|+\cdots+|z_n|}si et seulement si les points sont situés sur une même demi-droite issue de {0}.
On se donne {n} points {A_1,\ldots,A_n} d’affixes {a_1,\ldots,a_n} toutes non nulles. On pose {\omega_k=a_k/|a_k|} et l’on suppose {\sum\limits_{k=1}^n\omega_k=0}. Soit {M} un point quelconque d’affixe {z}.
2. (a) Montrer que {S=\sum\limits_{k=1}^n\overline{\omega_k}(z-a_k)} est indépendante de {z}, et que {S\lt0}.
2. (b) Prouver que {\sum\limits_{k=1}^n|z-a_k|\ge\sum\limits_{k=1}^n|a_k|}.
2. (c) Montrer qu’il y a égalité si et seulement si, pour chaque {k}, il existe {\mu_k\in]-\infty,1]} tel que {z=\mu_ka_k}.
2. (d) Interpréter géométriquement ces conditions et déterminer, suivant la disposition des {A_k}, l’ensemble des points {M} vérifiant l’égalité (E) : {\sum_{k=1}^n|z-a_k|=\sum_{k=1}^n|a_k|}Indication : discuter suivant que les {A_k} sont alignés ou non avec {O}. Vérifier que l’alignement avec {O} n’est possible que si {n} est pair.
3. (a) Soient {P,Q} deux points distincts du plan. Identifier l’ensemble des points {M} tels que l’angle orienté {(\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ})} soit égal à {2\pi/3} modulo {2\pi}. Indiquer comment construire cet ensemble à la règle et au compas.
3. (b) On se donne trois points {A_1,A_2,A_3} non alignés, dont les angles intérieurs sont tous strictement inférieurs à {2\pi/3}.
On appelle point de Fermat le point {O} pour lequel {OA_1+OA_2+OA_3} est minimum. Déduire de ce qui précède son existence, son unicité et sa construction à la règle et au compas.
Indication : se placer dans la situation de la question 2 et montrer que les images de {\omega_1,\omega_2,\omega_3} forment un triangle équilatéral de centre {O}. On pourra supposer {\omega_1=1} après une rotation.