Polynômes cyclotomiques

On note {\mathbb C[X]}, {\mathbb R[X]}, {\mathbb Q[X]} et {\mathbb Z[X]} les anneaux de polynômes à coefficients respectivement complexes, réels, rationnels et entiers.

I. Polynômes à coefficients entiers

Pour {A=\sum\limits_{k\geqslant0}a_kX^k\in\mathbb Z[X]}, on note {\delta(A)} le PGCD positif ou nul de ses coefficients. Le polynôme est primitif si {\delta(A)=1}. Pour {A\ne0}, on écrit {A=\delta(A)\widehat A}, où {\widehat A} est primitif.

I. 1. Montrer que le produit de deux polynômes primitifs est primitif.

I. 2. Vérifier que {\delta(mC)=|m|\delta(C)} pour {(m,C)\in\mathbb Z\times\mathbb Z[X]}. Montrer que {\delta(AB)=\delta(A)\delta(B)}.

I. 3. Soient {P,Q\in\mathbb Q[X]} unitaires, tels que {PQ\in\mathbb Z[X]}. Montrer que {P,Q\in\mathbb Z[X]}.

I. 4. Soient {A,B\in\mathbb Z[X]}, avec {B} unitaire. Montrer que le quotient et le reste de la division euclidienne de {A} par {B} dans {\mathbb C[X]} appartiennent à {\mathbb Z[X]}.

II. Racines primitives de l’unité

On note {U_n} le groupe des racines {n}-ièmes de l’unité, cyclique d’ordre {n}, engendré par {w_n=e^{2i\pi/n}}. Une racine primitive est un élément d’ordre exactement {n} : {z^m=1} si et seulement si {n\mid m}. On note {R_n} l’ensemble de ces racines, et {D_n} l’ensemble des diviseurs positifs de {n}.

II. 1. Pour {z=w_n^k}, {1\leqslant k\leqslant n}, montrer que le groupe engendré par {z} est d’ordre {n/(n\wedge k)}. En déduire {R_n=\{w_n^k:1\leqslant k\leqslant n,\ k\wedge n=1\}}.

II. 2. Préciser {R_1,R_2,R_{12}}. Que dire de {R_n} si {n} est premier ?

II. 3. Montrer que {U_n} est l’union disjointe des {R_d} pour {d\mid n}.

II. 4. Montrer que {R_n} est stable par conjugaison et que son cardinal est pair pour {n\geqslant3}.

II. 5. Montrer que le produit des éléments de {R_n} vaut {1} pour {n\geqslant3}.

II. 6. Pour {m,n} premiers entre eux, montrer que {(a,b)\mapsto ab} est une bijection de {R_m\times R_n} sur {R_{mn}}.

II. 7. Pour {a\in R_n} fixé, montrer que {z\in R_n} équivaut à {z=a^m} pour un entier {m\geqslant1} premier avec {n}.

III. Fonctions multiplicatives

L’indicateur d’Euler {\varphi(n)} compte les entiers de {\{1,\ldots,n\}} premiers avec {n}. D’après II.1, il est égal à {\operatorname{card}R_n}.

III. 1. Utiliser II pour établir {n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)}.

III. 2. Utiliser II.6 pour montrer que {\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)} lorsque {m\wedge n=1}.

On note {\mu(n)} la somme des éléments de {R_n}.

III. 3. (a) Vérifier que {\mu(1)=1} et montrer que {\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=0} pour {n\geqslant2}.

III. 3. (b) Pour {p} premier, montrer que {\mu(p)=-1} et {\mu(p^m)=0} pour {m\geqslant2}.

III. 3. (c) Montrer que {\mu} est multiplicative.

III. 3. (d) Montrer que {\mu(n)=0} si un carré premier divise {n}, et que {\mu(n)=(-1)^m} si {n} est produit de {m} premiers distincts.

IV. Polynômes cyclotomiques

Pour {n\geqslant1}, on définit {\Phi_n(X)=\prod\limits_{z\in R_n}(X-z)}. C’est un polynôme unitaire de degré {\varphi(n)}, a priori à coefficients complexes.

IV. 1. (a) Pour {p} premier, montrer que {\Phi_p=\sum\limits_{k=0}^{p-1}X^k}.

IV. 1. (b) Écrire les {\Phi_n} pour {1\leqslant n\leqslant8}.

IV. 2. (a) Montrer que {X^n-1=\prod\limits_{d\mid n}\Phi_d}.

IV. 2. (b) Montrer que {\Phi_n\in\mathbb Z[X]} pour tout {n\geqslant1}.

On considère la fraction rationnelle {\Psi_n=\prod\limits_{d\mid n}(X^d-1)^{\mu(n/d)}}.

IV. 3. (a) Justifier
{\Psi_n=\prod_{d\mid n}\left(\prod_{k\mid d}\Phi_k\right)^{\mu(n/d)}=\prod_{k\mid n}\Phi_k^{m_k}}où {m_k=\sum\limits_{k\mid d\mid n}\mu(n/d)}.

IV. 3. (b) Montrer que {m_k=\sum\limits_{\delta\mid n/k}\mu(\delta)}.

IV. 3. (c) En déduire {\Psi_n=\Phi_n}, soit {\Phi_n=\prod\limits_{d\mid n}(X^d-1)^{\mu(n/d)}}.

V. Relations entre polynômes cyclotomiques

V. 1. (a) Pour deux premiers distincts {p,q}, exprimer {\Phi_{pq}} comme fraction rationnelle non simplifiée, puis observer que {\Phi_{pq}(X)=\Phi_p(X^q)/\Phi_p(X)}.

V. 1. (b) Même question pour trois premiers distincts {p,q,r}. Observer {\Phi_{pqr}(X)=\Phi_{pq}(X^r)/\Phi_{pq}(X)}.

V. 1. (c) En déduire {\Phi_{10}} et {\Phi_{30}}.

V. 1. (d) Pour {n\geqslant1} et {p} premier ne divisant pas {n}, montrer {\Phi_{np}(X)=\Phi_n(X^p)/\Phi_n(X)}.

On écrit {n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}} et {m=p_1\cdots p_k}, produit des premiers distincts divisant {n}.

V. 2. (a) Montrer que {\Phi_n(X)=\Phi_m(X^{n/m})}.

V. 2. (b) En déduire {\Phi_{3240}}.

V. 3. Pour {n\geqslant3} impair, montrer {\Phi_{2n}(X)=\Phi_n(-X)}. Donner {\Phi_{14}}.

VI. Coefficients des polynômes cyclotomiques

VI. 1. (a) Quel est le coefficient de degré {\varphi(n)-1} de {\Phi_n} ? Quel est son coefficient constant ?

VI. 1. (b) Montrer que les coefficients ne sont pas tous dans {\{-1,0,1\}} en calculant le coefficient de degré {41} de {\Phi_{105}}.

VI. 2. (a) Pour {P(X)=a_mX^m+\cdots+a_0}, avec {a_0a_m\ne0}, montrer que {X^mP(1/X)=a_0X^m+a_1X^{m-1}+\cdots+a_m}.

VI. 2. (b) Pour {n\geqslant3} et {m=\varphi(n)}, montrer {\Phi_n(X)=X^m\Phi_n(1/X)}. En déduire une symétrie des coefficients.

VII. Irréductibilité d’indice premier

Sur un corps {K}, un polynôme non constant est irréductible si toute factorisation {A=BC} dans {K[X]} possède un facteur constant non nul.
Pour un polynôme entier, on distinguera l’absence de factorisation en deux polynômes de degrés positifs et l’irréductibilité au sens usuel de {\mathbb Z[X]}, dont les seules unités sont {1,-1}. Ces notions coïncident pour un polynôme primitif. Les polynômes cyclotomiques sont unitaires, donc primitifs.

VII. 1. Montrer qu’un polynôme primitif non constant {A\in\mathbb Z[X]} est irréductible dans {\mathbb Q[X]} si et seulement s’il l’est dans {\mathbb Z[X]}. Plus généralement, montrer qu’une factorisation de degré positif sur {\mathbb Q} en entraîne une sur {\mathbb Z}.

VII. 2. (a) Soit {A=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k\in\mathbb Z[X]}, {n\geqslant1}. Supposons qu’un premier {p} divise {a_0,\ldots,a_{n-1}}, mais pas {a_n}, et que {p^2} ne divise pas {a_0}. Montrer que {A} n’est pas produit de deux polynômes entiers de degrés positifs, donc est irréductible sur {\mathbb Q}.

VII. 2. (b) Montrer que {p} divise {\binom pk} pour {1\leqslant k\leqslant p-1}.

VII. 2. (c) Montrer que {\Phi_p(X+1)=\sum\limits_{k=0}^{p-1}\binom p{k+1}X^k}.

VII. 2. (d) En déduire que {\Phi_p} est irréductible sur {\mathbb Q}.

VIII. Irréductibilité d’indice quelconque

Cette partie d’approfondissement, hors barème dans l’énoncé, utilise les polynômes minimaux et la réduction modulo un nombre premier. On montrera que le polynôme minimal d’une racine primitive {a} s’annule aussi en {a^p} lorsque {p\nmid n}, puis sur toutes les racines primitives.
Pour {z\in U_n}, on note {\mathcal A_z=\{A\in\mathbb Q[X]:A(z)=0\}}.

VIII. 1. (a) Montrer qu’il existe dans {\mathcal A_z} un unique polynôme unitaire {M_z} de degré minimal. On l’appelle polynôme minimal de {z} sur {\mathbb Q}.

VIII. 1. (b) Montrer que {\mathcal A_z=\{QM_z:Q\in\mathbb Q[X]\}}.

VIII. 1. (c) Montrer que {M_z\in\mathbb Z[X]} et qu’il existe {N_z\in\mathbb Z[X]} tel que {X^n-1=M_zN_z}.

VIII. 1. (d) Montrer que {M_z} est irréductible sur {\mathbb Q}.

Soit désormais {p} premier. On note {\mathbb F_p} le corps des classes modulo {p}, et {\overline A} la réduction coefficient par coefficient de {A\in\mathbb Z[X]}.

VIII. 2. (a) Vérifier que {\overline{A+B}=\overline A+\overline B} et {\overline{AB}=\overline A\,\overline B}.

VIII. 2. (b) Montrer que {(\overline A+\overline B)^p=\overline A^{\,p}+\overline B^{\,p}}.

VIII. 2. (c) Vérifier que {m^p\equiv m\pmod p} pour tout {m\in\mathbb Z}.

VIII. 2. (d) En déduire {\overline A(X)^p=\overline A(X^p)}.

Soit {a\in R_n}, et {p} premier ne divisant pas {n}. On pose {b=a^p\in R_n}. Pour montrer {M_a=M_b}, on suppose par l’absurde que ces deux polynômes sont distincts.

VIII. 3. (a) Montrer qu’il existe {Q\in\mathbb Z[X]} unitaire tel que {X^n-1=M_aM_bQ}.

VIII. 3. (b) Montrer qu’il existe {R\in\mathbb Z[X]} unitaire tel que {M_b(X^p)=M_a(X)R(X)}. En déduire {\overline{M_b}(X)^p=\overline{M_a}(X)\overline R(X)}.

VIII. 3. (c) Soit {S} un diviseur irréductible unitaire de {\overline{M_a}} dans {\mathbb F_p[X]}. Montrer que {S^2} divise {X^n-1} dans cet anneau.

VIII. 3. (d) En dérivant, montrer que {S=X} et conclure.

VIII. 4. (a) Pour {a\in R_n} fixé et {b\in R_n} quelconque, montrer que {M_a(b)=0} à l’aide de II.7 et VIII.3.

VIII. 4. (b) En déduire {M_a=\Phi_n}, donc l’irréductibilité de {\Phi_n} sur {\mathbb Q}.