Probabilité de tirages monotones

(Oral Mines-Ponts)
Soit {\mathcal{C}_{p}^{n}} l’ensemble des suites croissantes de {p} éléments de {[[1,n ]]}, et {\mathcal{SC}_{p}^{n}} l’ensemble des suites strictement croissantes de {p} éléments de {[[1,n]]}.

  1. On définit l’application {\varphi}, qui à {(u_{1},\ldots,u_{p})} associe : {(u_{1},u_{2}+ 1,\ldots,u_{p}+p-1)}.
    Montrer que \phi est une application bijective de {\mathcal{C}_{p}^{n}} sur {\mathcal{SC}_{p}^{n+p-1}}.
    En déduire le cardinal de {\mathcal{C}_{p}^{n}}.
  2. On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.