Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Soit {F\colon \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\times \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})} définie par :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ si\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}

  1. Montrer qu’on a toujours {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
  2. Déterminer le rang, la trace et le déterminant de {F(A,B)}.
  3. A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?