Propriétés de la cardioïde

On se place dans le plan euclidien orienté {\mathbb R^2}. Le réel {a} est strictement positif. La cardioïde {\Gamma} a pour équation polaire {\rho=a(1+\cos\theta)}.

Première partie

1. Étudier et tracer {\Gamma}. Préciser l’angle polaire de la tangente en {M(\theta)} et les points à tangente horizontale ou verticale.

2. (a) Montrer que, pour tout réel {\varphi}, trois points exactement de {\Gamma} ont une tangente d’angle polaire {\varphi}.

2. (b) Déterminer le centre de gravité du triangle {MNP}.

2. (c) Déterminer l’aire du triangle {MNP}.

2. (d) Quand {M} décrit {\Gamma}, reconnaître le lieu du milieu {I} de {[NP]}.

3. Déterminer une représentation polaire du lieu {\Gamma'} de la projection orthogonale {N(\theta)} de {O} sur la tangente en {M(\theta)}. Construire {\Gamma'}.

Une droite variable {\Delta} passant par {O} rencontre {\Gamma} en deux points {P,Q} autres que {O}. On pose {A=(2a,0)}.

4. (a) Déterminer le lieu du barycentre {J} du triangle {APQ}.

4. (b) Déterminer le lieu de l’intersection {I} des tangentes en {P,Q}.

5. Un cercle mobile de rayon {a} roule sans glisser extérieurement sur un cercle fixe de même rayon. Montrer que la trajectoire d’un point du cercle mobile est une cardioïde.

6. Sur un cercle centré en {O}, soit {A(\theta)} le point d’angle polaire {\theta}. Montrer que la droite passant par {A(\theta),A(2\theta)} reste tangente à une cardioïde à déterminer.

Deuxième partie

1. Déterminer le centre de courbure en {\theta=0}.

On oriente {\Gamma} dans le sens des {\theta} croissants.

2. (a) Déterminer une abscisse curviligne ayant l’origine géométrique {(0,0)} pour origine. Quelle est la longueur totale ?

2. (b) Préciser le repère de Frenet et la courbure au point de paramètre {\theta}.

2. (c) Montrer que le lieu des centres de courbure est une cardioïde, et préciser la transformation qui l’obtient à partir de {\Gamma}.

Troisième partie

Soit {D} le domaine intérieur, de densité surfacique constante {\mu\gt0}, et {D^+=D\cap\{y\ge0\}}.

1. (a) Calculer l’aire de {D}.

1. (b) Calculer les centres d’inertie de {D} et {D^+}.

1. (c) Calculer les moments d’inertie de {D} par rapport à {Ox,Oy,O}.

1. (d) Calculer le volume engendré par rotation de {D} autour de {Ox}.

On recouvre maintenant {\Gamma} d’une densité linéique constante {\mu\gt0} et l’on note {\Gamma^+=\Gamma\cap\{y\ge0\}}.

2. (a) Calculer les centres d’inertie de {\Gamma} et {\Gamma^+}.

2. (b) Calculer les moments d’inertie de {\Gamma} par rapport à {Ox,Oy,O}.

2. (c) Calculer l’aire de la nappe engendrée par rotation de {\Gamma^+} autour de {Ox}.

3. La cycloïde {x(t)=t-\sin t}, {y(t)=1+\cos t} a des arches de longueur {8}. On pose au point {(0,2)} une cardioïde de longueur {8}, comme sur la figure, puis on la fait rouler sans glisser. Montrer que son rebroussement décrit la droite {y=2}.

Position initiale de la cardioïde sur la cycloïde