Réduction de M -> AMB

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A}

{B}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))}

définie par

{\varphi(M)=AMB}

Montrer que ${\varphi= 0}$ si et seulement si ${A = 0}$ ou ${B = 0}$ .
Montrer que ${\varphi}$ est nilpotente si et seulement si ${A}$ ou ${B}$ est nilpotente.
On suppose {A} et {B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. On va montrer que {\varphi} est diagonalisable dans {\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}))}.
- Soit ${\alpha,\beta}$ dans ${\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}))}$ définis par : ${\alpha(M)=AM}$ et ${\beta(M)=MB}$ .
  Montrer que ${\alpha}$ et ${\beta}$ sont diagonalisables dans ${\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}))}$ .
- Montrer plus précisément qu’il existe une base de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}$ formée de vecteurs propres à la fois pour ${\alpha}$ et ${\beta}$ .
- En déduire que ${\varphi}$ est diagonalisable.
Retrouver le résultat de la question (3c), mais sans l’aide de ${\alpha}$ et ${\beta}$ , et en indiquant comment former une base de vecteurs propres de ${\varphi}$ à partir d’une base de vecteurs propres de ${A}$ et d’une base de vecteurs propres de ${B^{\top}}$ .

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