Intégrale et sommes de Riemann

  1. Pour {x\ne\pm1}, prouver l’existence de :{I(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-2x\cos(t)+x^{2})\,\text{d}t}
  2. Montrer l’identité : {\dfrac{X^{2n}-1}{X^{2}-1}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(X^{2}\!-\!2X\cos\Bigl(\dfrac{k\pi}{n}\Bigr)\!+\!1\Bigr)}
  3. Avec des sommes de Riemann, calculer {I(x)} quand {\left|{x}\right|\lt 1} et quand {\left|{x}\right|>1}.

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.