Sous-groupes distingués

Soit {G} un groupe, non nécessairement abélien, de loi {(a,b)\mapsto ab}, de neutre {e}. On note {a^{-1}} l’inverse de {a}.

Pour toute partie non vide {X} de {G} et tous {a,b\in G}, on pose {\begin{array}{l}aX=\{ax:x\in X\},\quad Xb=\{xb:x\in X\}\\[4pt]aXb=a(Xb)=(aX)b=\{axb:x\in X\}\end{array}}Les propriétés suivantes sont évidentes et n’ont pas à être démontrées : si {X\subset Y}, alors {aX\subset aY}, {Xb\subset Yb} et {aXb\subset aYb} ; de plus {\begin{array}{l}a(bX)=(ab)X,\quad(Xa)b=X(ab)\\[4pt]a(bXc)d=(ab)X(cd),\quad eX=Xe=X\end{array}}Les automorphismes intérieurs sont les applications {\varphi_a(x)=axa^{-1}}.

I. Définition des sous-groupes distingués

1. Soit {H} un sous-groupe de {G}. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

i) Pour tout {a\in G}, {aH\subset Ha}.

ii) Pour tout {a\in G}, {Ha\subset aH}.

iii) Pour tout {a\in G}, {aH=Ha}.

On dit qu’un sous-groupe {H} de {G} est distingué s’il vérifie ces conditions.

2. Soit {H} un sous-groupe de {G}. Montrer l’équivalence des conditions :

i) {H} est distingué dans {G}.

ii) Pour tout {a\in G}, {aHa^{-1}=H}.

iii) Pour tout {a\in G}, {aHa^{-1}\subset H}.

Exprimer cette propriété avec la terminologie des automorphismes intérieurs de {G}.

II. Exemples de sous-groupes distingués

1. Soit {G} un groupe. Vérifier que {\{e\}} et {G} sont distingués dans {G}.

2. Que peut-on dire des sous-groupes distingués d’un groupe abélien {G} ?

Soient {G,\widetilde G} deux groupes et {f:G\to\widetilde G} un morphisme.

3. (a) On suppose que {\widetilde H} est distingué dans {\widetilde G}. Montrer que son image réciproque par {f} est un sous-groupe distingué {H} de {G}.

3. (b) On suppose {f} surjectif. Soit {H} un sous-groupe distingué de {G}. Montrer que {\widetilde H=f(H)} est distingué dans {\widetilde G}.

3. (c) Que dire du noyau de {f} ?

III. Centre et centralisateurs

Soit {X} une partie non vide de {G}. Son centralisateur est {X'=\{a\in G:\forall x\in X,\ ax=xa\}}Le centre est {C=G'}, c’est-à-dire l’ensemble des éléments commutant avec tout élément de {G}.

1. (a) Montrer que {X'} est un sous-groupe de {G}.

1. (b) Montrer que le sous-groupe {C} est distingué dans {G}.

2. Avec les automorphismes intérieurs, retrouver que {C} est distingué dans {G}.

Dans la question 3, {X,Y} sont deux parties non vides de {G}.

3. (a) Vérifier que {X\subset Y\Rightarrow Y'\subset X'}.

3. (b) On pose {X''=(X')'}. Montrer que {X\subset X''}.

3. (c) On pose {X'''=((X')')'}. Montrer que {X'=X'''}.

Dans la question 4, {H} est un sous-groupe de {G}.

4. (a) Montrer les équivalences : {H} abélien {\iff H\subset H'\iff H''} abélien.

4. (b) Montrer que si {H} est distingué, alors {H'} est distingué.

IV. Produit de deux sous-groupes

Soient {H,K} deux sous-groupes de {G}. On pose {HK=\{hk:h\in H,k\in K\}} et {KH=\{kh:k\in K,h\in H\}}.

1. Montrer que {HK\subset KH\iff KH\subset HK\iff HK=KH}.

2. Montrer que {HK} est un sous-groupe de {G} si et seulement si {HK=KH}.

3. On suppose que l’un des deux sous-groupes {H} ou {K} est distingué. Montrer que {HK=KH}. Conclusion ?

V. Quotient par un sous-groupe distingué

Soit {H} un sous-groupe de {G}. On définit {x\mathcal R y\iff x^{-1}y\in H}.

1. Montrer que {\mathcal R} est une relation d’équivalence sur {G}. Quelle est cette relation si {H=G} ? Si {H=\{e\}} ?

2. Vérifier que la classe d’équivalence d’un élément {a} est {\overline a=aH}.

On suppose désormais {H} distingué. On note {G/H} l’ensemble des classes d’équivalence.

3. (a) Soient {x,y\in G}. Montrer que {\overline{xy}} ne dépend que de {\overline x} et de {\overline y}.

3. (b) On définit donc une loi sur {G/H} par {\overline x\,\overline y=\overline{xy}}. Montrer que {G/H} est un groupe. Quel est son neutre ? L’inverse de {\overline x} ?

On dit que {G/H} est le groupe quotient de {G} par le sous-groupe distingué {H}.

3. (c) Montrer l’équivalence des propriétés : {G/H} est commutatif ; pour tous {x,y\in G}, {y^{-1}x^{-1}yx\in H}.