Suite d’intégrales à paramètre

(Oral X-Cachan)
Pour x\ge0, on pose :{f(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\text{e}^{-t^{2}}\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(t^{2}+1)x^{2}}}{1+t^{2}}\text{d}t}

  1. Calculer {g(0)} et montrer que {\displaystyle\lim_{+\infty}g(x)=0}.
    Montrer {g'=-2ff'}. Calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t}.
  2. Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée.
    On pose, pour {n\in\mathbb{N}} et {x \in\mathbb{R}} : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}Montrer que {\varphi_{n}} est {{\mathcal C}^{1}} sur {\mathbb{R}} et que {(\varphi_{n})_{n\ge0}} converge simplement vers {\varphi}.